Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11158 / 23924
↖ ↑ ↗
← S 63.489767°
W 57.414551°		 ← 545.29 m → S 63.489767°
W 57.403564°		 →
↑
545.23 m
↓
↑
545.23 m
↓
S 63.494670°
W 57.414551°		 ← 545.19 m →
297 282 m²		 S 63.494670°
W 57.403564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340530395507812 y=0.730117797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340530395507812 × 215)
    floor (0.340530395507812 × 32768)
    floor (11158.5)     		tx = 11158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730117797851562 × 215)
    floor (0.730117797851562 × 32768)
    floor (23924.5)     		ty = 23924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11158 / 23924 ti = "15/11158/23924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11158/23924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11158 ÷ 215
    11158 ÷ 32768     		x = 0.34051513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23924 ÷ 215
    23924 ÷ 32768     		y = 0.7301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.3189697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00207295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44577689254089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00207295} λ = -1.00207295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44577689254089))-π/2
    2×atan(0.235562998312711)-π/2
    2×0.23134542736864-π/2
    0.462690854737281-1.57079632675     		φ = -1.10810547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00207295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10810547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.489767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11158 KachelY 23924 -1.00207295 -1.10810547 -57.414551 -63.489767
    Oben rechts KachelX + 1 11159 KachelY 23924 -1.00188120 -1.10810547 -57.403564 -63.489767
    Unten links KachelX 11158 KachelY + 1 23925 -1.00207295 -1.10819105 -57.414551 -63.494670
    Unten rechts KachelX + 1 11159 KachelY + 1 23925 -1.00188120 -1.10819105 -57.403564 -63.494670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10810547--1.10819105) × R
    8.55800000001405e-05 × 6371000     		dl = 545.230180000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10810547--1.10819105) × R
    8.55800000001405e-05 × 6371000     		dr = 545.230180000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00207295--1.00188120) × cos(-1.10810547) × R
    0.000191750000000157 × 0.44635764575849 × 6371000     		do = 545.288019596613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00207295--1.00188120) × cos(-1.10819105) × R
    0.000191750000000157 × 0.446281062462732 × 6371000     		du = 545.194462436622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10810547)-sin(-1.10819105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44635764575849-0.446281062462732)×R²
    abs(-1.00188120--1.00207295)×7.65832957572155e-05×R²
    0.000191750000000157×7.65832957572155e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.65832957572155e-05×40589641000000     		ar = 297281.980164812m²