Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11155 / 23923
↖ ↑ ↗
← S 63.484863°
W 57.447510°		 ← 545.38 m → S 63.484863°
W 57.436523°		 →
↑
545.29 m
↓
↑
545.29 m
↓
S 63.489767°
W 57.447510°		 ← 545.29 m →
297 368 m²		 S 63.489767°
W 57.436523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340438842773438 y=0.730087280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340438842773438 × 215)
    floor (0.340438842773438 × 32768)
    floor (11155.5)     		tx = 11155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730087280273438 × 215)
    floor (0.730087280273438 × 32768)
    floor (23923.5)     		ty = 23923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11155 / 23923 ti = "15/11155/23923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11155/23923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11155 ÷ 215
    11155 ÷ 32768     		x = 0.340423583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23923 ÷ 215
    23923 ÷ 32768     		y = 0.730072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340423583984375 × 2 - 1) × π
    -0.31915283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00264819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730072021484375 × 2 - 1) × π
    -0.46014404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44558514494241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00264819} λ = -1.00264819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44558514494241))-π/2
    2×atan(0.235608171282694)-π/2
    2×0.231388225043371-π/2
    0.462776450086742-1.57079632675     		φ = -1.10801988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00264819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.447510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10801988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.484863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11155 KachelY 23923 -1.00264819 -1.10801988 -57.447510 -63.484863
    Oben rechts KachelX + 1 11156 KachelY 23923 -1.00245644 -1.10801988 -57.436523 -63.484863
    Unten links KachelX 11155 KachelY + 1 23924 -1.00264819 -1.10810547 -57.447510 -63.489767
    Unten rechts KachelX + 1 11156 KachelY + 1 23924 -1.00245644 -1.10810547 -57.436523 -63.489767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10801988--1.10810547) × R
    8.55899999998577e-05 × 6371000     		dl = 545.293889999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10801988--1.10810547) × R
    8.55899999998577e-05 × 6371000     		dr = 545.293889999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00264819--1.00245644) × cos(-1.10801988) × R
    0.000191749999999935 × 0.446434234733316 × 6371000     		do = 545.381583693747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00264819--1.00245644) × cos(-1.10810547) × R
    0.000191749999999935 × 0.44635764575849 × 6371000     		du = 545.288019595982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10801988)-sin(-1.10810547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446434234733316-0.44635764575849)×R²
    abs(-1.00245644--1.00264819)×7.65889748264303e-05×R²
    0.000191749999999935×7.65889748264303e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.65889748264303e-05×40589641000000     		ar = 297367.735522703m²