Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1115 / 1445
↖ ↑ ↗
← N 75.084326°
W131.000976°		 ← 1 257.77 m → N 75.084326°
W130.957031°		 →
↑
1 258.27 m
↓
↑
1 258.27 m
↓
N 75.073010°
W131.000976°		 ← 1 258.70 m →
1 583 203 m²		 N 75.073010°
W130.957031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13616943359375 y=0.17645263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13616943359375 × 213)
    floor (0.13616943359375 × 8192)
    floor (1115.5)     		tx = 1115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17645263671875 × 213)
    floor (0.17645263671875 × 8192)
    floor (1445.5)     		ty = 1445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1115 / 1445 ti = "13/1115/1445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1115/1445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1115 ÷ 213
    1115 ÷ 8192     		x = 0.1361083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1445 ÷ 213
    1445 ÷ 8192     		y = 0.1763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.727783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.28639836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1763916015625 × 2 - 1) × π
    0.647216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0332915342843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.28639836} λ = -2.28639836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0332915342843))-π/2
    2×atan(7.63918967662468)-π/2
    2×1.44063251187872-π/2
    2.88126502375743-1.57079632675     		φ = 1.31046870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.28639836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.000976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31046870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.084326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1115 KachelY 1445 -2.28639836 1.31046870 -131.000976 75.084326
    Oben rechts KachelX + 1 1116 KachelY 1445 -2.28563137 1.31046870 -130.957031 75.084326
    Unten links KachelX 1115 KachelY + 1 1446 -2.28639836 1.31027120 -131.000976 75.073010
    Unten rechts KachelX + 1 1116 KachelY + 1 1446 -2.28563137 1.31027120 -130.957031 75.073010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31046870-1.31027120) × R
    0.000197499999999851 × 6371000     		dl = 1258.27249999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31046870-1.31027120) × R
    0.000197499999999851 × 6371000     		dr = 1258.27249999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.28639836--2.28563137) × cos(1.31046870) × R
    0.000766990000000245 × 0.257397153340222 × 6371000     		do = 1257.7694626625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.28639836--2.28563137) × cos(1.31027120) × R
    0.000766990000000245 × 0.257587993694642 × 6371000     		du = 1258.70200277383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31046870)-sin(1.31027120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257397153340222-0.257587993694642)×R²
    abs(-2.28563137--2.28639836)×0.000190840354419408×R²
    0.000766990000000245×0.000190840354419408×6371000²
    0.000766990000000245×0.000190840354419408×40589641000000     		ar = 1583203.42614036m²