Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11143 / 6951
↖ ↑ ↗
← N 80.379972°
W118.789673°		 ← 102.08 m → N 80.379972°
W118.784179°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
N 80.379054°
W118.789673°		 ← 102.09 m →
10 426 m²		 N 80.379054°
W118.784179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170036315917969 y=0.106071472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170036315917969 × 216)
    floor (0.170036315917969 × 65536)
    floor (11143.5)     		tx = 11143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106071472167969 × 216)
    floor (0.106071472167969 × 65536)
    floor (6951.5)     		ty = 6951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11143 / 6951 ti = "16/11143/6951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11143/6951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11143 ÷ 216
    11143 ÷ 65536     		x = 0.170028686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6951 ÷ 216
    6951 ÷ 65536     		y = 0.106063842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.170028686523438 × 2 - 1) × π
    -0.659942626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.07327091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106063842773438 × 2 - 1) × π
    0.787872314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47517387498198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07327091} λ = -2.07327091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47517387498198))-π/2
    2×atan(11.8837732243269)-π/2
    2×1.48684574617392-π/2
    2.97369149234783-1.57079632675     		φ = 1.40289517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07327091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.789673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40289517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.379972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11143 KachelY 6951 -2.07327091 1.40289517 -118.789673 80.379972
    Oben rechts KachelX + 1 11144 KachelY 6951 -2.07317503 1.40289517 -118.784179 80.379972
    Unten links KachelX 11143 KachelY + 1 6952 -2.07327091 1.40287914 -118.789673 80.379054
    Unten rechts KachelX + 1 11144 KachelY + 1 6952 -2.07317503 1.40287914 -118.784179 80.379054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40289517-1.40287914) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dl = 102.127130000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40289517-1.40287914) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dr = 102.127130000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07327091--2.07317503) × cos(1.40289517) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.167113390058585 × 6371000     		do = 102.08146164551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07327091--2.07317503) × cos(1.40287914) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.167129194618173 × 6371000     		du = 102.091115884125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40289517)-sin(1.40287914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167113390058585-0.167129194618173)×R²
    abs(-2.07317503--2.07327091)×1.58045595878842e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.58045595878842e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.58045595878842e-05×40589641000000     		ar = 10425.7796838071m²