Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11142 / 23641
↖ ↑ ↗
← S 62.067880°
W 57.590332°		 ← 572.25 m → S 62.067880°
W 57.579345°		 →
↑
572.18 m
↓
↑
572.18 m
↓
S 62.073026°
W 57.590332°		 ← 572.15 m →
327 400 m²		 S 62.073026°
W 57.579345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340042114257812 y=0.721481323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340042114257812 × 215)
    floor (0.340042114257812 × 32768)
    floor (11142.5)     		tx = 11142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721481323242188 × 215)
    floor (0.721481323242188 × 32768)
    floor (23641.5)     		ty = 23641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11142 / 23641 ti = "15/11142/23641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11142/23641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11142 ÷ 215
    11142 ÷ 32768     		x = 0.34002685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23641 ÷ 215
    23641 ÷ 32768     		y = 0.721466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.3199462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00514091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.44293212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39151232217099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00514091} λ = -1.00514091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39151232217099))-π/2
    2×atan(0.248698907215046)-π/2
    2×0.243753730823943-π/2
    0.487507461647885-1.57079632675     		φ = -1.08328887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00514091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.590332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08328887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.067880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11142 KachelY 23641 -1.00514091 -1.08328887 -57.590332 -62.067880
    Oben rechts KachelX + 1 11143 KachelY 23641 -1.00494916 -1.08328887 -57.579345 -62.067880
    Unten links KachelX 11142 KachelY + 1 23642 -1.00514091 -1.08337868 -57.590332 -62.073026
    Unten rechts KachelX + 1 11143 KachelY + 1 23642 -1.00494916 -1.08337868 -57.579345 -62.073026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08328887--1.08337868) × R
    8.9809999999968e-05 × 6371000     		dl = 572.179509999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08328887--1.08337868) × R
    8.9809999999968e-05 × 6371000     		dr = 572.179509999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00514091--1.00494916) × cos(-1.08328887) × R
    0.000191749999999935 × 0.468425175732206 × 6371000     		do = 572.246580362416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00514091--1.00494916) × cos(-1.08337868) × R
    0.000191749999999935 × 0.468345826423324 × 6371000     		du = 572.149644132226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08328887)-sin(-1.08337868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468425175732206-0.468345826423324)×R²
    abs(-1.00494916--1.00514091)×7.93493088811492e-05×R²
    0.000191749999999935×7.93493088811492e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.93493088811492e-05×40589641000000     		ar = 327400.035709255m²