Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1114 / 975
↖ ↑ ↗
← N  8.581021°
E 15.820312°		 ← 19.327 km → N  8.581021°
E 15.996094°		 →
↑
19.332 km
↓
↑
19.332 km
↓
N  8.407168°
E 15.820312°		 ← 19.336 km →
373.709 km²		 N  8.407168°
E 15.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.544189453125 y=0.476318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.544189453125 × 211)
    floor (0.544189453125 × 2048)
    floor (1114.5)     		tx = 1114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.476318359375 × 211)
    floor (0.476318359375 × 2048)
    floor (975.5)     		ty = 975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1114 / 975 ti = "11/1114/975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1114/975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1114 ÷ 211
    1114 ÷ 2048     		x = 0.5439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 975 ÷ 211
    975 ÷ 2048     		y = 0.47607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5439453125 × 2 - 1) × π
    0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47607421875 × 2 - 1) × π
    0.0478515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.150330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27611654} λ = 0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.150330117208496))-π/2
    2×atan(1.16221784751902)-π/2
    2×0.860281700093542-π/2
    1.72056340018708-1.57079632675     		φ = 0.14976707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14976707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.581021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1114 KachelY 975 0.27611654 0.14976707 15.820312 8.581021
    Oben rechts KachelX + 1 1115 KachelY 975 0.27918450 0.14976707 15.996094 8.581021
    Unten links KachelX 1114 KachelY + 1 976 0.27611654 0.14673277 15.820312 8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 1115 KachelY + 1 976 0.27918450 0.14673277 15.996094 8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14976707-0.14673277) × R
    0.00303429999999999 × 6371000     		dl = 19331.5252999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14976707-0.14673277) × R
    0.00303429999999999 × 6371000     		dr = 19331.5252999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27611654-0.27918450) × cos(0.14976707) × R
    0.00306795999999998 × 0.988805859736353 × 6371000     		do = 19327.1727948574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27611654-0.27918450) × cos(0.14673277) × R
    0.00306795999999998 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 19335.9330776444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14976707)-sin(0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988805859736353-0.989254048358907)×R²
    abs(0.27918450-0.27611654)×0.000448188622554135×R²
    0.00306795999999998×0.000448188622554135×6371000²
    0.00306795999999998×0.000448188622554135×40589641000000     		ar = 373708691.402726m²