Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1114 / 3274
↖ ↑ ↗
← S 72.659588°
W 82.089844°		 ← 2 912.82 m → S 72.659588°
W 82.001953°		 →
↑
2 910.72 m
↓
↑
2 910.72 m
↓
S 72.685765°
W 82.089844°		 ← 2 908.56 m →
8 472 200 m²		 S 72.685765°
W 82.001953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2720947265625 y=0.7994384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2720947265625 × 212)
    floor (0.2720947265625 × 4096)
    floor (1114.5)     		tx = 1114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7994384765625 × 212)
    floor (0.7994384765625 × 4096)
    floor (3274.5)     		ty = 3274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1114 / 3274 ti = "12/1114/3274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1114/3274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1114 ÷ 212
    1114 ÷ 4096     		x = 0.27197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3274 ÷ 212
    3274 ÷ 4096     		y = 0.79931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27197265625 × 2 - 1) × π
    -0.4560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43273806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79931640625 × 2 - 1) × π
    -0.5986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88066044589404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43273806} λ = -1.43273806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88066044589404))-π/2
    2×atan(0.152489361519786)-π/2
    2×0.151323637443247-π/2
    0.302647274886493-1.57079632675     		φ = -1.26814905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43273806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.089844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26814905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.659588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1114 KachelY 3274 -1.43273806 -1.26814905 -82.089844 -72.659588
    Oben rechts KachelX + 1 1115 KachelY 3274 -1.43120408 -1.26814905 -82.001953 -72.659588
    Unten links KachelX 1114 KachelY + 1 3275 -1.43273806 -1.26860592 -82.089844 -72.685765
    Unten rechts KachelX + 1 1115 KachelY + 1 3275 -1.43120408 -1.26860592 -82.001953 -72.685765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26814905--1.26860592) × R
    0.000456869999999832 × 6371000     		dl = 2910.71876999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26814905--1.26860592) × R
    0.000456869999999832 × 6371000     		dr = 2910.71876999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43273806--1.43120408) × cos(-1.26814905) × R
    0.00153397999999982 × 0.298048208313173 × 6371000     		do = 2912.82114003735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43273806--1.43120408) × cos(-1.26860592) × R
    0.00153397999999982 × 0.297612071589966 × 6371000     		du = 2908.5587816944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26814905)-sin(-1.26860592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298048208313173-0.297612071589966)×R²
    abs(-1.43120408--1.43273806)×0.000436136723207636×R²
    0.00153397999999982×0.000436136723207636×6371000²
    0.00153397999999982×0.000436136723207636×40589641000000     		ar = 8472200.0501041m²