Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11139 / 23933
↖ ↑ ↗
← S 63.533867°
W 57.623291°		 ← 544.42 m → S 63.533867°
W 57.612305°		 →
↑
544.40 m
↓
↑
544.40 m
↓
S 63.538763°
W 57.623291°		 ← 544.32 m →
296 357 m²		 S 63.538763°
W 57.612305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339950561523438 y=0.730392456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339950561523438 × 215)
    floor (0.339950561523438 × 32768)
    floor (11139.5)     		tx = 11139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730392456054688 × 215)
    floor (0.730392456054688 × 32768)
    floor (23933.5)     		ty = 23933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11139 / 23933 ti = "15/11139/23933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11139/23933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11139 ÷ 215
    11139 ÷ 32768     		x = 0.339935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23933 ÷ 215
    23933 ÷ 32768     		y = 0.730377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339935302734375 × 2 - 1) × π
    -0.32012939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00571615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730377197265625 × 2 - 1) × π
    -0.46075439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44750262092722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00571615} λ = -1.00571615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44750262092722))-π/2
    2×atan(0.235156831127678)-π/2
    2×0.230960578611251-π/2
    0.461921157222502-1.57079632675     		φ = -1.10887517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00571615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.623291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10887517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.533867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11139 KachelY 23933 -1.00571615 -1.10887517 -57.623291 -63.533867
    Oben rechts KachelX + 1 11140 KachelY 23933 -1.00552441 -1.10887517 -57.612305 -63.533867
    Unten links KachelX 11139 KachelY + 1 23934 -1.00571615 -1.10896062 -57.623291 -63.538763
    Unten rechts KachelX + 1 11140 KachelY + 1 23934 -1.00552441 -1.10896062 -57.612305 -63.538763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10887517--1.10896062) × R
    8.54500000000424e-05 × 6371000     		dl = 544.40195000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10887517--1.10896062) × R
    8.54500000000424e-05 × 6371000     		dr = 544.40195000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00571615--1.00552441) × cos(-1.10887517) × R
    0.000191739999999996 × 0.445668743979562 × 6371000     		do = 544.418036587943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00571615--1.00552441) × cos(-1.10896062) × R
    0.000191739999999996 × 0.445592247687712 × 6371000     		du = 544.324590588918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10887517)-sin(-1.10896062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445668743979562-0.445592247687712)×R²
    abs(-1.00552441--1.00571615)×7.64962918503587e-05×R²
    0.000191739999999996×7.64962918503587e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.64962918503587e-05×40589641000000     		ar = 296356.804821927m²