Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11139 / 23930
↖ ↑ ↗
← S 63.519175°
W 57.623291°		 ← 544.70 m → S 63.519175°
W 57.612305°		 →
↑
544.66 m
↓
↑
544.66 m
↓
S 63.524073°
W 57.623291°		 ← 544.60 m →
296 648 m²		 S 63.524073°
W 57.612305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339950561523438 y=0.730300903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339950561523438 × 215)
    floor (0.339950561523438 × 32768)
    floor (11139.5)     		tx = 11139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730300903320312 × 215)
    floor (0.730300903320312 × 32768)
    floor (23930.5)     		ty = 23930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11139 / 23930 ti = "15/11139/23930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11139/23930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11139 ÷ 215
    11139 ÷ 32768     		x = 0.339935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23930 ÷ 215
    23930 ÷ 32768     		y = 0.73028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339935302734375 × 2 - 1) × π
    -0.32012939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00571615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.4605712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44692737813177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00571615} λ = -1.00571615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44692737813177))-π/2
    2×atan(0.235292142315245)-π/2
    2×0.231088795487223-π/2
    0.462177590974445-1.57079632675     		φ = -1.10861874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00571615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.623291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10861874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.519175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11139 KachelY 23930 -1.00571615 -1.10861874 -57.623291 -63.519175
    Oben rechts KachelX + 1 11140 KachelY 23930 -1.00552441 -1.10861874 -57.612305 -63.519175
    Unten links KachelX 11139 KachelY + 1 23931 -1.00571615 -1.10870423 -57.623291 -63.524073
    Unten rechts KachelX + 1 11140 KachelY + 1 23931 -1.00552441 -1.10870423 -57.612305 -63.524073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10861874--1.10870423) × R
    8.54900000000214e-05 × 6371000     		dl = 544.656790000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10861874--1.10870423) × R
    8.54900000000214e-05 × 6371000     		dr = 544.656790000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00571615--1.00552441) × cos(-1.10861874) × R
    0.000191739999999996 × 0.445898284934728 × 6371000     		do = 544.698438204202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00571615--1.00552441) × cos(-1.10870423) × R
    0.000191739999999996 × 0.445821762605153 × 6371000     		du = 544.604960398129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10861874)-sin(-1.10870423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445898284934728-0.445821762605153)×R²
    abs(-1.00552441--1.00571615)×7.65223295749462e-05×R²
    0.000191739999999996×7.65223295749462e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.65223295749462e-05×40589641000000     		ar = 296648.246390159m²