Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11138 / 6016
↖ ↑ ↗
← N 81.201420°
W118.817139°		 ← 93.44 m → N 81.201420°
W118.811645°		 →
↑
93.46 m
↓
↑
93.46 m
↓
N 81.200579°
W118.817139°		 ← 93.45 m →
8 733 m²		 N 81.200579°
W118.811645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169960021972656 y=0.0918045043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169960021972656 × 216)
    floor (0.169960021972656 × 65536)
    floor (11138.5)     		tx = 11138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0918045043945312 × 216)
    floor (0.0918045043945312 × 65536)
    floor (6016.5)     		ty = 6016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11138 / 6016 ti = "16/11138/6016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11138/6016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11138 ÷ 216
    11138 ÷ 65536     		x = 0.169952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6016 ÷ 216
    6016 ÷ 65536     		y = 0.091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.66009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.07375028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091796875 × 2 - 1) × π
    0.81640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56481587727148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07375028} λ = -2.07375028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56481587727148))-π/2
    2×atan(12.9982648733344)-π/2
    2×1.49401422754322-π/2
    2.98802845508643-1.57079632675     		φ = 1.41723213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07375028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.817139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41723213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.201420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11138 KachelY 6016 -2.07375028 1.41723213 -118.817139 81.201420
    Oben rechts KachelX + 1 11139 KachelY 6016 -2.07365440 1.41723213 -118.811645 81.201420
    Unten links KachelX 11138 KachelY + 1 6017 -2.07375028 1.41721746 -118.817139 81.200579
    Unten rechts KachelX + 1 11139 KachelY + 1 6017 -2.07365440 1.41721746 -118.811645 81.200579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41723213-1.41721746) × R
    1.46699999998834e-05 × 6371000     		dl = 93.4625699992571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41723213-1.41721746) × R
    1.46699999998834e-05 × 6371000     		dr = 93.4625699992571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07375028--2.07365440) × cos(1.41723213) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152961350526349 × 6371000     		do = 93.4366673517578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07375028--2.07365440) × cos(1.41721746) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152975847875848 × 6371000     		du = 93.4455230791556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41723213)-sin(1.41721746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152961350526349-0.152975847875848)×R²
    abs(-2.07365440--2.07375028)×1.44973494993483e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44973494993483e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44973494993483e-05×40589641000000     		ar = 8733.24490269105m²