Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11138 / 23936
↖ ↑ ↗
← S 63.548552°
W 57.634277°		 ← 544.17 m → S 63.548552°
W 57.623291°		 →
↑
544.15 m
↓
↑
544.15 m
↓
S 63.553446°
W 57.634277°		 ← 544.07 m →
296 081 m²		 S 63.553446°
W 57.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339920043945312 y=0.730484008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339920043945312 × 215)
    floor (0.339920043945312 × 32768)
    floor (11138.5)     		tx = 11138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730484008789062 × 215)
    floor (0.730484008789062 × 32768)
    floor (23936.5)     		ty = 23936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11138 / 23936 ti = "15/11138/23936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11138/23936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11138 ÷ 215
    11138 ÷ 32768     		x = 0.33990478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23936 ÷ 215
    23936 ÷ 32768     		y = 0.73046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33990478515625 × 2 - 1) × π
    -0.3201904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00590790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73046875 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00590790} λ = -1.00590790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44807786372266))-π/2
    2×atan(0.235021597754514)-π/2
    2×0.230832427744353-π/2
    0.461664855488706-1.57079632675     		φ = -1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00590790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.634277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11138 KachelY 23936 -1.00590790 -1.10913147 -57.634277 -63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 11139 KachelY 23936 -1.00571615 -1.10913147 -57.623291 -63.548552
    Unten links KachelX 11138 KachelY + 1 23937 -1.00590790 -1.10921688 -57.634277 -63.553446
    Unten rechts KachelX + 1 11139 KachelY + 1 23937 -1.00571615 -1.10921688 -57.623291 -63.553446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10913147--1.10921688) × R
    8.54100000000635e-05 × 6371000     		dl = 544.147110000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10913147--1.10921688) × R
    8.54100000000635e-05 × 6371000     		dr = 544.147110000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00590790--1.00571615) × cos(-1.10913147) × R
    0.000191749999999935 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 544.166120289634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00590790--1.00571615) × cos(-1.10921688) × R
    0.000191749999999935 × 0.445362819874422 × 6371000     		du = 544.072701249089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10913147)-sin(-1.10921688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.445362819874422)×R²
    abs(-1.00571615--1.00590790)×7.64702350098401e-05×R²
    0.000191749999999935×7.64702350098401e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.64702350098401e-05×40589641000000     		ar = 296081.005045309m²