Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11138 / 23931
↖ ↑ ↗
← S 63.524073°
W 57.634277°		 ← 544.63 m → S 63.524073°
W 57.623291°		 →
↑
544.59 m
↓
↑
544.59 m
↓
S 63.528971°
W 57.634277°		 ← 544.54 m →
296 578 m²		 S 63.528971°
W 57.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339920043945312 y=0.730331420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339920043945312 × 215)
    floor (0.339920043945312 × 32768)
    floor (11138.5)     		tx = 11138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730331420898438 × 215)
    floor (0.730331420898438 × 32768)
    floor (23931.5)     		ty = 23931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11138 / 23931 ti = "15/11138/23931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11138/23931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11138 ÷ 215
    11138 ÷ 32768     		x = 0.33990478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23931 ÷ 215
    23931 ÷ 32768     		y = 0.730316162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33990478515625 × 2 - 1) × π
    -0.3201904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00590790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730316162109375 × 2 - 1) × π
    -0.46063232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44711912573026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00590790} λ = -1.00590790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44711912573026))-π/2
    2×atan(0.235247029937248)-π/2
    2×0.231046049192646-π/2
    0.462092098385292-1.57079632675     		φ = -1.10870423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00590790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.634277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10870423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.524073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11138 KachelY 23931 -1.00590790 -1.10870423 -57.634277 -63.524073
    Oben rechts KachelX + 1 11139 KachelY 23931 -1.00571615 -1.10870423 -57.623291 -63.524073
    Unten links KachelX 11138 KachelY + 1 23932 -1.00590790 -1.10878971 -57.634277 -63.528971
    Unten rechts KachelX + 1 11139 KachelY + 1 23932 -1.00571615 -1.10878971 -57.623291 -63.528971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10870423--1.10878971) × R
    8.54799999998601e-05 × 6371000     		dl = 544.593079999109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10870423--1.10878971) × R
    8.54799999998601e-05 × 6371000     		dr = 544.593079999109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00590790--1.00571615) × cos(-1.10870423) × R
    0.000191749999999935 × 0.445821762605153 × 6371000     		do = 544.633363702452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00590790--1.00571615) × cos(-1.10878971) × R
    0.000191749999999935 × 0.44574524596887 × 6371000     		du = 544.539887976292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10870423)-sin(-1.10878971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445821762605153-0.44574524596887)×R²
    abs(-1.00571615--1.00590790)×7.65166362824421e-05×R²
    0.000191749999999935×7.65166362824421e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.65166362824421e-05×40589641000000     		ar = 296578.108072423m²