Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11136 / 23935
↖ ↑ ↗
← S 63.543658°
W 57.656250°		 ← 544.26 m → S 63.543658°
W 57.645264°		 →
↑
544.21 m
↓
↑
544.21 m
↓
S 63.548552°
W 57.656250°		 ← 544.17 m →
296 167 m²		 S 63.548552°
W 57.645264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339859008789062 y=0.730453491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339859008789062 × 215)
    floor (0.339859008789062 × 32768)
    floor (11136.5)     		tx = 11136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730453491210938 × 215)
    floor (0.730453491210938 × 32768)
    floor (23935.5)     		ty = 23935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11136 / 23935 ti = "15/11136/23935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11136/23935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11136 ÷ 215
    11136 ÷ 32768     		x = 0.33984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23935 ÷ 215
    23935 ÷ 32768     		y = 0.730438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33984375 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.46087646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44788611612418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00629140} λ = -1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44788611612418))-π/2
    2×atan(0.235066666902287)-π/2
    2×0.230875137367222-π/2
    0.461750274734445-1.57079632675     		φ = -1.10904605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10904605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.543658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11136 KachelY 23935 -1.00629140 -1.10904605 -57.656250 -63.543658
    Oben rechts KachelX + 1 11137 KachelY 23935 -1.00609965 -1.10904605 -57.645264 -63.543658
    Unten links KachelX 11136 KachelY + 1 23936 -1.00629140 -1.10913147 -57.656250 -63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 11137 KachelY + 1 23936 -1.00609965 -1.10913147 -57.645264 -63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10904605--1.10913147) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dl = 544.210820000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10904605--1.10913147) × R
    8.54200000000027e-05 × 6371000     		dr = 544.210820000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00629140--1.00609965) × cos(-1.10904605) × R
    0.000191750000000157 × 0.445515766047761 × 6371000     		do = 544.259546298208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00629140--1.00609965) × cos(-1.10913147) × R
    0.000191750000000157 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 544.166120290264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10904605)-sin(-1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445515766047761-0.445439290109431)×R²
    abs(-1.00609965--1.00629140)×7.6475938329934e-05×R²
    0.000191750000000157×7.6475938329934e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.6475938329934e-05×40589641000000     		ar = 296166.512440981m²