Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11135 / 23938
↖ ↑ ↗
← S 63.558338°
W 57.667236°		 ← 543.95 m → S 63.558338°
W 57.656250°		 →
↑
543.89 m
↓
↑
543.89 m
↓
S 63.563230°
W 57.667236°		 ← 543.86 m →
295 825 m²		 S 63.563230°
W 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339828491210938 y=0.730545043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339828491210938 × 215)
    floor (0.339828491210938 × 32768)
    floor (11135.5)     		tx = 11135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730545043945312 × 215)
    floor (0.730545043945312 × 32768)
    floor (23938.5)     		ty = 23938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11135 / 23938 ti = "15/11135/23938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11135/23938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11135 ÷ 215
    11135 ÷ 32768     		x = 0.339813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23938 ÷ 215
    23938 ÷ 32768     		y = 0.73052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.32037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00648314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73052978515625 × 2 - 1) × π
    -0.4610595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44846135891962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00648314} λ = -1.00648314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44846135891962))-π/2
    2×atan(0.234931485380529)-π/2
    2×0.230747030492168-π/2
    0.461494060984336-1.57079632675     		φ = -1.10930227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00648314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10930227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.558338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11135 KachelY 23938 -1.00648314 -1.10930227 -57.667236 -63.558338
    Oben rechts KachelX + 1 11136 KachelY 23938 -1.00629140 -1.10930227 -57.656250 -63.558338
    Unten links KachelX 11135 KachelY + 1 23939 -1.00648314 -1.10938764 -57.667236 -63.563230
    Unten rechts KachelX + 1 11136 KachelY + 1 23939 -1.00629140 -1.10938764 -57.656250 -63.563230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10930227--1.10938764) × R
    8.53700000000845e-05 × 6371000     		dl = 543.892270000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10930227--1.10938764) × R
    8.53700000000845e-05 × 6371000     		dr = 543.892270000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00648314--1.00629140) × cos(-1.10930227) × R
    0.000191739999999996 × 0.445286364298313 × 6371000     		do = 543.950930922337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00648314--1.00629140) × cos(-1.10938764) × R
    0.000191739999999996 × 0.445209923383945 × 6371000     		du = 543.857552571089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10930227)-sin(-1.10938764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445286364298313-0.445209923383945)×R²
    abs(-1.00629140--1.00648314)×7.64409143681477e-05×R²
    0.000191739999999996×7.64409143681477e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.64409143681477e-05×40589641000000     		ar = 295825.312886295m²