Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11135 / 23681
↖ ↑ ↗
← S 62.273035°
W 57.667236°		 ← 568.35 m → S 62.273035°
W 57.656250°		 →
↑
568.29 m
↓
↑
568.29 m
↓
S 62.278145°
W 57.667236°		 ← 568.25 m →
322 961 m²		 S 62.278145°
W 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339828491210938 y=0.722702026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339828491210938 × 215)
    floor (0.339828491210938 × 32768)
    floor (11135.5)     		tx = 11135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722702026367188 × 215)
    floor (0.722702026367188 × 32768)
    floor (23681.5)     		ty = 23681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11135 / 23681 ti = "15/11135/23681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11135/23681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11135 ÷ 215
    11135 ÷ 32768     		x = 0.339813232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23681 ÷ 215
    23681 ÷ 32768     		y = 0.722686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339813232421875 × 2 - 1) × π
    -0.32037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00648314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.44537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3991822261102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00648314} λ = -1.00648314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3991822261102))-π/2
    2×atan(0.246798706978873)-π/2
    2×0.241963419372425-π/2
    0.48392683874485-1.57079632675     		φ = -1.08686949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00648314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08686949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.273035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11135 KachelY 23681 -1.00648314 -1.08686949 -57.667236 -62.273035
    Oben rechts KachelX + 1 11136 KachelY 23681 -1.00629140 -1.08686949 -57.656250 -62.273035
    Unten links KachelX 11135 KachelY + 1 23682 -1.00648314 -1.08695869 -57.667236 -62.278145
    Unten rechts KachelX + 1 11136 KachelY + 1 23682 -1.00629140 -1.08695869 -57.656250 -62.278145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08686949--1.08695869) × R
    8.91999999999005e-05 × 6371000     		dl = 568.293199999366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08686949--1.08695869) × R
    8.91999999999005e-05 × 6371000     		dr = 568.293199999366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00648314--1.00629140) × cos(-1.08686949) × R
    0.000191739999999996 × 0.465258690565822 × 6371000     		do = 568.348636167625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00648314--1.00629140) × cos(-1.08695869) × R
    0.000191739999999996 × 0.465179731126633 × 6371000     		du = 568.25218124806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08686949)-sin(-1.08695869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465258690565822-0.465179731126633)×R²
    abs(-1.00629140--1.00648314)×7.8959439188897e-05×R²
    0.000191739999999996×7.8959439188897e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.8959439188897e-05×40589641000000     		ar = 322961.258040258m²