Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11134 / 6017
↖ ↑ ↗
← N 81.200579°
W118.839111°		 ← 93.44 m → N 81.200579°
W118.833618°		 →
↑
93.40 m
↓
↑
93.40 m
↓
N 81.199739°
W118.839111°		 ← 93.44 m →
8 727 m²		 N 81.199739°
W118.833618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169898986816406 y=0.0918197631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169898986816406 × 216)
    floor (0.169898986816406 × 65536)
    floor (11134.5)     		tx = 11134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0918197631835938 × 216)
    floor (0.0918197631835938 × 65536)
    floor (6017.5)     		ty = 6017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11134 / 6017 ti = "16/11134/6017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11134/6017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11134 ÷ 216
    11134 ÷ 65536     		x = 0.169891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6017 ÷ 216
    6017 ÷ 65536     		y = 0.0918121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.66021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.07413377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0918121337890625 × 2 - 1) × π
    0.816375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56472000347224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07413377} λ = -2.07413377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56472000347224))-π/2
    2×atan(12.9970187400342)-π/2
    2×1.49400689470286-π/2
    2.98801378940572-1.57079632675     		φ = 1.41721746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07413377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.839111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41721746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.200579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11134 KachelY 6017 -2.07413377 1.41721746 -118.839111 81.200579
    Oben rechts KachelX + 1 11135 KachelY 6017 -2.07403790 1.41721746 -118.833618 81.200579
    Unten links KachelX 11134 KachelY + 1 6018 -2.07413377 1.41720280 -118.839111 81.199739
    Unten rechts KachelX + 1 11135 KachelY + 1 6018 -2.07403790 1.41720280 -118.833618 81.199739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41721746-1.41720280) × R
    1.46599999999442e-05 × 6371000     		dl = 93.3988599996443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41721746-1.41720280) × R
    1.46599999999442e-05 × 6371000     		dr = 93.3988599996443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07413377--2.07403790) × cos(1.41721746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152975847875848 × 6371000     		do = 93.4357769879467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07413377--2.07403790) × cos(1.41720280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152990335310149 × 6371000     		du = 93.4446257356363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41721746)-sin(1.41720280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152975847875848-0.152990335310149)×R²
    abs(-2.07403790--2.07413377)×1.44874343007972e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44874343007972e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44874343007972e-05×40589641000000     		ar = 8727.20828551394m²