Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1113 / 981
↖ ↑ ↗
← N  7.536764°
E 15.644531°		 ← 19.377 km → N  7.536764°
E 15.820312°		 →
↑
19.381 km
↓
↑
19.381 km
↓
N  7.362467°
E 15.644531°		 ← 19.385 km →
375.622 km²		 N  7.362467°
E 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543701171875 y=0.479248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543701171875 × 211)
    floor (0.543701171875 × 2048)
    floor (1113.5)     		tx = 1113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479248046875 × 211)
    floor (0.479248046875 × 2048)
    floor (981.5)     		ty = 981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1113 / 981 ti = "11/1113/981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1113/981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1113 ÷ 211
    1113 ÷ 2048     		x = 0.54345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 981 ÷ 211
    981 ÷ 2048     		y = 0.47900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54345703125 × 2 - 1) × π
    0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47900390625 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.131922347754395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27304858} λ = 0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131922347754395))-π/2
    2×atan(1.14101971308404)-π/2
    2×0.851168839579182-π/2
    1.70233767915836-1.57079632675     		φ = 0.13154135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13154135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.536764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1113 KachelY 981 0.27304858 0.13154135 15.644531 7.536764
    Oben rechts KachelX + 1 1114 KachelY 981 0.27611654 0.13154135 15.820312 7.536764
    Unten links KachelX 1113 KachelY + 1 982 0.27304858 0.12849929 15.644531 7.362467
    Unten rechts KachelX + 1 1114 KachelY + 1 982 0.27611654 0.12849929 15.820312 7.362467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13154135-0.12849929) × R
    0.00304206000000001 × 6371000     		dl = 19380.9642600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13154135-0.12849929) × R
    0.00304206000000001 × 6371000     		dr = 19380.9642600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27304858-0.27611654) × cos(0.13154135) × R
    0.00306796000000004 × 0.991360904351957 × 6371000     		do = 19377.1136283369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27304858-0.27611654) × cos(0.12849929) × R
    0.00306796000000004 × 0.991755320332752 × 6371000     		du = 19384.8228725114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13154135)-sin(0.12849929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991360904351957-0.991755320332752)×R²
    abs(0.27611654-0.27304858)×0.000394415980794371×R²
    0.00306796000000004×0.000394415980794371×6371000²
    0.00306796000000004×0.000394415980794371×40589641000000     		ar = 375622142.657025m²