Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1113 / 979
↖ ↑ ↗
← N  7.885147°
E 15.644531°		 ← 19.361 km → N  7.885147°
E 15.820312°		 →
↑
19.365 km
↓
↑
19.365 km
↓
N  7.710991°
E 15.644531°		 ← 19.369 km →
375.012 km²		 N  7.710991°
E 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.543701171875 y=0.478271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.543701171875 × 211)
    floor (0.543701171875 × 2048)
    floor (1113.5)     		tx = 1113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478271484375 × 211)
    floor (0.478271484375 × 2048)
    floor (979.5)     		ty = 979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1113 / 979 ti = "11/1113/979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1113/979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1113 ÷ 211
    1113 ÷ 2048     		x = 0.54345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 979 ÷ 211
    979 ÷ 2048     		y = 0.47802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54345703125 × 2 - 1) × π
    0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47802734375 × 2 - 1) × π
    0.0439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.138058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27304858} λ = 0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.138058270905762))-π/2
    2×atan(1.1480424457983)-π/2
    2×0.854209054445714-π/2
    1.70841810889143-1.57079632675     		φ = 0.13762178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13762178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.885147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1113 KachelY 979 0.27304858 0.13762178 15.644531 7.885147
    Oben rechts KachelX + 1 1114 KachelY 979 0.27611654 0.13762178 15.820312 7.885147
    Unten links KachelX 1113 KachelY + 1 980 0.27304858 0.13458219 15.644531 7.710991
    Unten rechts KachelX + 1 1114 KachelY + 1 980 0.27611654 0.13458219 15.820312 7.710991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13762178-0.13458219) × R
    0.00303959000000001 × 6371000     		dl = 19365.2278900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13762178-0.13458219) × R
    0.00303959000000001 × 6371000     		dr = 19365.2278900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27304858-0.27611654) × cos(0.13762178) × R
    0.00306796000000004 × 0.990545059830871 × 6371000     		do = 19361.167153225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27304858-0.27611654) × cos(0.13458219) × R
    0.00306796000000004 × 0.990957477892313 × 6371000     		du = 19369.2282655847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13762178)-sin(0.13458219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990545059830871-0.990957477892313)×R²
    abs(0.27611654-0.27304858)×0.000412418061441877×R²
    0.00306796000000004×0.000412418061441877×6371000²
    0.00306796000000004×0.000412418061441877×40589641000000     		ar = 375011755.508733m²