Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1113 / 3254
↖ ↑ ↗
← S 72.127936°
W 82.177735°		 ← 2 999.26 m → S 72.127936°
W 82.089844°		 →
↑
2 997.05 m
↓
↑
2 997.05 m
↓
S 72.154889°
W 82.177735°		 ← 2 994.88 m →
8 982 354 m²		 S 72.154889°
W 82.089844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2718505859375 y=0.7945556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2718505859375 × 212)
    floor (0.2718505859375 × 4096)
    floor (1113.5)     		tx = 1113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7945556640625 × 212)
    floor (0.7945556640625 × 4096)
    floor (3254.5)     		ty = 3254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1113 / 3254 ti = "12/1113/3254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1113/3254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1113 ÷ 212
    1113 ÷ 4096     		x = 0.271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3254 ÷ 212
    3254 ÷ 4096     		y = 0.79443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.45654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43427204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79443359375 × 2 - 1) × π
    -0.5888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.84998083013721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43427204} λ = -1.43427204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84998083013721))-π/2
    2×atan(0.157240180557423)-π/2
    2×0.155963178019012-π/2
    0.311926356038024-1.57079632675     		φ = -1.25886997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43427204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.177735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25886997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.127936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1113 KachelY 3254 -1.43427204 -1.25886997 -82.177735 -72.127936
    Oben rechts KachelX + 1 1114 KachelY 3254 -1.43273806 -1.25886997 -82.089844 -72.127936
    Unten links KachelX 1113 KachelY + 1 3255 -1.43427204 -1.25934039 -82.177735 -72.154889
    Unten rechts KachelX + 1 1114 KachelY + 1 3255 -1.43273806 -1.25934039 -82.089844 -72.154889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25886997--1.25934039) × R
    0.000470420000000082 × 6371000     		dl = 2997.04582000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25886997--1.25934039) × R
    0.000470420000000082 × 6371000     		dr = 2997.04582000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43427204--1.43273806) × cos(-1.25886997) × R
    0.00153398000000005 × 0.306892603538866 × 6371000     		do = 2999.25729588668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43427204--1.43273806) × cos(-1.25934039) × R
    0.00153398000000005 × 0.30644485011474 × 6371000     		du = 2994.88140768156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25886997)-sin(-1.25934039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306892603538866-0.30644485011474)×R²
    abs(-1.43273806--1.43427204)×0.000447753424125563×R²
    0.00153398000000005×0.000447753424125563×6371000²
    0.00153398000000005×0.000447753424125563×40589641000000     		ar = 8982354.33866126m²