Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11121 / 23896
↖ ↑ ↗
← S 63.352129°
W 57.821045°		 ← 547.91 m → S 63.352129°
W 57.810058°		 →
↑
547.91 m
↓
↑
547.91 m
↓
S 63.357056°
W 57.821045°		 ← 547.82 m →
300 179 m²		 S 63.357056°
W 57.810058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339401245117188 y=0.729263305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339401245117188 × 215)
    floor (0.339401245117188 × 32768)
    floor (11121.5)     		tx = 11121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729263305664062 × 215)
    floor (0.729263305664062 × 32768)
    floor (23896.5)     		ty = 23896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11121 / 23896 ti = "15/11121/23896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11121/23896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11121 ÷ 215
    11121 ÷ 32768     		x = 0.339385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23896 ÷ 215
    23896 ÷ 32768     		y = 0.729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.32122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00916761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.45849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44040795978345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00916761} λ = -1.00916761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44040795978345))-π/2
    2×atan(0.2368311213984)-π/2
    2×0.232546541319808-π/2
    0.465093082639616-1.57079632675     		φ = -1.10570324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00916761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.821045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10570324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.352129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11121 KachelY 23896 -1.00916761 -1.10570324 -57.821045 -63.352129
    Oben rechts KachelX + 1 11122 KachelY 23896 -1.00897586 -1.10570324 -57.810058 -63.352129
    Unten links KachelX 11121 KachelY + 1 23897 -1.00916761 -1.10578924 -57.821045 -63.357056
    Unten rechts KachelX + 1 11122 KachelY + 1 23897 -1.00897586 -1.10578924 -57.810058 -63.357056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10570324--1.10578924) × R
    8.60000000000305e-05 × 6371000     		dl = 547.906000000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10570324--1.10578924) × R
    8.60000000000305e-05 × 6371000     		dr = 547.906000000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00916761--1.00897586) × cos(-1.10570324) × R
    0.000191749999999935 × 0.44850600248744 × 6371000     		do = 547.912536499069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00916761--1.00897586) × cos(-1.10578924) × R
    0.000191749999999935 × 0.448429135764484 × 6371000     		du = 547.818633093286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10570324)-sin(-1.10578924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44850600248744-0.448429135764484)×R²
    abs(-1.00897586--1.00916761)×7.68667229568698e-05×R²
    0.000191749999999935×7.68667229568698e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.68667229568698e-05×40589641000000     		ar = 300178.841289123m²