Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11113 / 7195
↖ ↑ ↗
← N 80.153382°
W118.954468°		 ← 104.45 m → N 80.153382°
W118.948975°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
N 80.152443°
W118.954468°		 ← 104.46 m →
10 914 m²		 N 80.152443°
W118.948975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169578552246094 y=0.109794616699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169578552246094 × 216)
    floor (0.169578552246094 × 65536)
    floor (11113.5)     		tx = 11113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109794616699219 × 216)
    floor (0.109794616699219 × 65536)
    floor (7195.5)     		ty = 7195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11113 / 7195 ti = "16/11113/7195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11113/7195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11113 ÷ 216
    11113 ÷ 65536     		x = 0.169570922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7195 ÷ 216
    7195 ÷ 65536     		y = 0.109786987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169570922851562 × 2 - 1) × π
    -0.660858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.07614712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109786987304688 × 2 - 1) × π
    0.780426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.45178066796739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07614712} λ = -2.07614712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45178066796739))-π/2
    2×atan(11.6090000999708)-π/2
    2×1.48486837651161-π/2
    2.96973675302323-1.57079632675     		φ = 1.39894043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07614712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.954468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39894043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.153382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11113 KachelY 7195 -2.07614712 1.39894043 -118.954468 80.153382
    Oben rechts KachelX + 1 11114 KachelY 7195 -2.07605125 1.39894043 -118.948975 80.153382
    Unten links KachelX 11113 KachelY + 1 7196 -2.07614712 1.39892403 -118.954468 80.152443
    Unten rechts KachelX + 1 11114 KachelY + 1 7196 -2.07605125 1.39892403 -118.948975 80.152443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39894043-1.39892403) × R
    1.63999999998055e-05 × 6371000     		dl = 104.484399998761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39894043-1.39892403) × R
    1.63999999998055e-05 × 6371000     		dr = 104.484399998761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07614712--2.07605125) × cos(1.39894043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171011200265192 × 6371000     		do = 104.451549654998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07614712--2.07605125) × cos(1.39892403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.171027358655183 × 6371000     		du = 104.461419001987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39894043)-sin(1.39892403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171011200265192-0.171027358655183)×R²
    abs(-2.07605125--2.07614712)×1.61583899915552e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61583899915552e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61583899915552e-05×40589641000000     		ar = 10914.0730913437m²