Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11112 / 7176
↖ ↑ ↗
← N 80.171215°
W118.959961°		 ← 104.28 m → N 80.171215°
W118.954468°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
N 80.170277°
W118.959961°		 ← 104.28 m →
10 876 m²		 N 80.170277°
W118.954468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169563293457031 y=0.109504699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169563293457031 × 216)
    floor (0.169563293457031 × 65536)
    floor (11112.5)     		tx = 11112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109504699707031 × 216)
    floor (0.109504699707031 × 65536)
    floor (7176.5)     		ty = 7176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11112 / 7176 ti = "16/11112/7176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11112/7176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11112 ÷ 216
    11112 ÷ 65536     		x = 0.1695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7176 ÷ 216
    7176 ÷ 65536     		y = 0.1094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1695556640625 × 2 - 1) × π
    -0.660888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.07624300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1094970703125 × 2 - 1) × π
    0.781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45360227015295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07624300} λ = -2.07624300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45360227015295))-π/2
    2×atan(11.630166352318)-π/2
    2×1.48502399401011-π/2
    2.97004798802022-1.57079632675     		φ = 1.39925166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07624300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39925166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.171215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11112 KachelY 7176 -2.07624300 1.39925166 -118.959961 80.171215
    Oben rechts KachelX + 1 11113 KachelY 7176 -2.07614712 1.39925166 -118.954468 80.171215
    Unten links KachelX 11112 KachelY + 1 7177 -2.07624300 1.39923529 -118.959961 80.170277
    Unten rechts KachelX + 1 11113 KachelY + 1 7177 -2.07614712 1.39923529 -118.954468 80.170277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39925166-1.39923529) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39925166-1.39923529) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07624300--2.07614712) × cos(1.39925166) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.170704546690468 × 6371000     		do = 104.275124988533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07624300--2.07614712) × cos(1.39923529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.170720676393005 × 6371000     		du = 104.2849778412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39925166)-sin(1.39923529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170704546690468-0.170720676393005)×R²
    abs(-2.07614712--2.07624300)×1.61297025370599e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.61297025370599e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.61297025370599e-05×40589641000000     		ar = 10875.7075582498m²