Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 111112 / 45592
↖ ↑ ↗
← N 47.945787°
E125.178223°		 ← 204.54 m → N 47.945787°
E125.180969°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
N 47.943947°
E125.178223°		 ← 204.55 m →
41 844 m²		 N 47.943947°
E125.180969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 111112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.847721099853516 y=0.347843170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.847721099853516 × 217)
    floor (0.847721099853516 × 131072)
    floor (111112.5)     		tx = 111112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347843170166016 × 217)
    floor (0.347843170166016 × 131072)
    floor (45592.5)     		ty = 45592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 111112 / 45592 ti = "17/111112/45592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/111112/45592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 111112 ÷ 217
    111112 ÷ 131072     		x = 0.84771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45592 ÷ 217
    45592 ÷ 131072     		y = 0.34783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.84771728515625 × 2 - 1) × π
    0.6954345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.18477214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34783935546875 × 2 - 1) × π
    0.3043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.9560535260224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.18477214} λ = 2.18477214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.9560535260224))-π/2
    2×atan(2.60140979266329)-π/2
    2×1.20380408151303-π/2
    2.40760816302606-1.57079632675     		φ = 0.83681184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.18477214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 125.178223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83681184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.945787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 111112 KachelY 45592 2.18477214 0.83681184 125.178223 47.945787
    Oben rechts KachelX + 1 111113 KachelY 45592 2.18482007 0.83681184 125.180969 47.945787
    Unten links KachelX 111112 KachelY + 1 45593 2.18477214 0.83677973 125.178223 47.943947
    Unten rechts KachelX + 1 111113 KachelY + 1 45593 2.18482007 0.83677973 125.180969 47.943947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83681184-0.83677973) × R
    3.21099999999186e-05 × 6371000     		dl = 204.572809999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83681184-0.83677973) × R
    3.21099999999186e-05 × 6371000     		dr = 204.572809999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.18477214-2.18482007) × cos(0.83681184) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.669833471064158 × 6371000     		do = 204.541708484328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.18477214-2.18482007) × cos(0.83677973) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.669857312758636 × 6371000     		du = 204.548988832552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83681184)-sin(0.83677973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669833471064158-0.669857312758636)×R²
    abs(2.18482007-2.18477214)×2.38416944772224e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.38416944772224e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.38416944772224e-05×40589641000000     		ar = 41844.4167509982m²