Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11110 / 23905
↖ ↑ ↗
← S 63.396442°
W 57.941894°		 ← 547.04 m → S 63.396442°
W 57.930908°		 →
↑
547.01 m
↓
↑
547.01 m
↓
S 63.401362°
W 57.941894°		 ← 546.95 m →
299 213 m²		 S 63.401362°
W 57.930908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339065551757812 y=0.729537963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339065551757812 × 215)
    floor (0.339065551757812 × 32768)
    floor (11110.5)     		tx = 11110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729537963867188 × 215)
    floor (0.729537963867188 × 32768)
    floor (23905.5)     		ty = 23905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11110 / 23905 ti = "15/11110/23905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11110/23905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11110 ÷ 215
    11110 ÷ 32768     		x = 0.33905029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23905 ÷ 215
    23905 ÷ 32768     		y = 0.729522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.3218994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01127683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.45904541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44213368816977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01127683} λ = -1.01127683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44213368816977))-π/2
    2×atan(0.236422767664598)-π/2
    2×0.232159839896548-π/2
    0.464319679793096-1.57079632675     		φ = -1.10647665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01127683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10647665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.396442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11110 KachelY 23905 -1.01127683 -1.10647665 -57.941894 -63.396442
    Oben rechts KachelX + 1 11111 KachelY 23905 -1.01108509 -1.10647665 -57.930908 -63.396442
    Unten links KachelX 11110 KachelY + 1 23906 -1.01127683 -1.10656251 -57.941894 -63.401362
    Unten rechts KachelX + 1 11111 KachelY + 1 23906 -1.01108509 -1.10656251 -57.930908 -63.401362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10647665--1.10656251) × R
    8.58599999999932e-05 × 6371000     		dl = 547.014059999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10647665--1.10656251) × R
    8.58599999999932e-05 × 6371000     		dr = 547.014059999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01127683--1.01108509) × cos(-1.10647665) × R
    0.000191739999999996 × 0.447814610166313 × 6371000     		do = 547.039374233791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01127683--1.01108509) × cos(-1.10656251) × R
    0.000191739999999996 × 0.447737838820396 × 6371000     		du = 546.945592235446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10647665)-sin(-1.10656251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447814610166313-0.447737838820396)×R²
    abs(-1.01108509--1.01127683)×7.67713459173258e-05×R²
    0.000191739999999996×7.67713459173258e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.67713459173258e-05×40589641000000     		ar = 299212.57922727m²