Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11108 / 23903
↖ ↑ ↗
← S 63.386600°
W 57.963867°		 ← 547.26 m → S 63.386600°
W 57.952881°		 →
↑
547.21 m
↓
↑
547.21 m
↓
S 63.391522°
W 57.963867°		 ← 547.16 m →
299 435 m²		 S 63.391522°
W 57.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339004516601562 y=0.729476928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339004516601562 × 215)
    floor (0.339004516601562 × 32768)
    floor (11108.5)     		tx = 11108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729476928710938 × 215)
    floor (0.729476928710938 × 32768)
    floor (23903.5)     		ty = 23903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11108 / 23903 ti = "15/11108/23903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11108/23903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11108 ÷ 215
    11108 ÷ 32768     		x = 0.3389892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23903 ÷ 215
    23903 ÷ 32768     		y = 0.729461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.322021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01166033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.45892333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44175019297281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01166033} λ = -1.01166033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44175019297281))-π/2
    2×atan(0.236513452047851)-π/2
    2×0.232245721996056-π/2
    0.464491443992112-1.57079632675     		φ = -1.10630488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01166033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10630488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.386600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11108 KachelY 23903 -1.01166033 -1.10630488 -57.963867 -63.386600
    Oben rechts KachelX + 1 11109 KachelY 23903 -1.01146858 -1.10630488 -57.952881 -63.386600
    Unten links KachelX 11108 KachelY + 1 23904 -1.01166033 -1.10639077 -57.963867 -63.391522
    Unten rechts KachelX + 1 11109 KachelY + 1 23904 -1.01146858 -1.10639077 -57.952881 -63.391522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10630488--1.10639077) × R
    8.58900000000329e-05 × 6371000     		dl = 547.20519000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10630488--1.10639077) × R
    8.58900000000329e-05 × 6371000     		dr = 547.20519000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01166033--1.01146858) × cos(-1.10630488) × R
    0.000191749999999935 × 0.44796818765627 × 6371000     		do = 547.25552079208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01166033--1.01146858) × cos(-1.10639077) × R
    0.000191749999999935 × 0.447891396092727 × 6371000     		du = 547.161709203987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10630488)-sin(-1.10639077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44796818765627-0.447891396092727)×R²
    abs(-1.01146858--1.01166033)×7.67915635427885e-05×R²
    0.000191749999999935×7.67915635427885e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.67915635427885e-05×40589641000000     		ar = 299435.394324101m²