Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11107 / 23902
↖ ↑ ↗
← S 63.381679°
W 57.974854°		 ← 547.35 m → S 63.381679°
W 57.963867°		 →
↑
547.27 m
↓
↑
547.27 m
↓
S 63.386600°
W 57.974854°		 ← 547.26 m →
299 522 m²		 S 63.386600°
W 57.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338973999023438 y=0.729446411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338973999023438 × 215)
    floor (0.338973999023438 × 32768)
    floor (11107.5)     		tx = 11107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729446411132812 × 215)
    floor (0.729446411132812 × 32768)
    floor (23902.5)     		ty = 23902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11107 / 23902 ti = "15/11107/23902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11107/23902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11107 ÷ 215
    11107 ÷ 32768     		x = 0.338958740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23902 ÷ 215
    23902 ÷ 32768     		y = 0.72943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338958740234375 × 2 - 1) × π
    -0.32208251953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.01185208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72943115234375 × 2 - 1) × π
    -0.4588623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44155844537433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01185208} λ = -1.01185208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44155844537433))-π/2
    2×atan(0.236558807282529)-π/2
    2×0.232288674089425-π/2
    0.46457734817885-1.57079632675     		φ = -1.10621898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01185208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.974854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10621898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.381679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11107 KachelY 23902 -1.01185208 -1.10621898 -57.974854 -63.381679
    Oben rechts KachelX + 1 11108 KachelY 23902 -1.01166033 -1.10621898 -57.963867 -63.381679
    Unten links KachelX 11107 KachelY + 1 23903 -1.01185208 -1.10630488 -57.974854 -63.386600
    Unten rechts KachelX + 1 11108 KachelY + 1 23903 -1.01166033 -1.10630488 -57.963867 -63.386600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10621898--1.10630488) × R
    8.58999999999721e-05 × 6371000     		dl = 547.268899999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10621898--1.10630488) × R
    8.58999999999721e-05 × 6371000     		dr = 547.268899999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01185208--1.01166033) × cos(-1.10621898) × R
    0.000191749999999935 × 0.448044984855221 × 6371000     		do = 547.349339264608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01185208--1.01166033) × cos(-1.10630488) × R
    0.000191749999999935 × 0.44796818765627 × 6371000     		du = 547.25552079208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10621898)-sin(-1.10630488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448044984855221-0.44796818765627)×R²
    abs(-1.01166033--1.01185208)×7.6797198950318e-05×R²
    0.000191749999999935×7.6797198950318e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.6797198950318e-05×40589641000000     		ar = 299521.599032635m²