Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11100 / 23908
↖ ↑ ↗
← S 63.411198°
W 58.051758°		 ← 546.79 m → S 63.411198°
W 58.040771°		 →
↑
546.76 m
↓
↑
546.76 m
↓
S 63.416115°
W 58.051758°		 ← 546.69 m →
298 935 m²		 S 63.416115°
W 58.040771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338760375976562 y=0.729629516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338760375976562 × 215)
    floor (0.338760375976562 × 32768)
    floor (11100.5)     		tx = 11100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729629516601562 × 215)
    floor (0.729629516601562 × 32768)
    floor (23908.5)     		ty = 23908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11100 / 23908 ti = "15/11100/23908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11100/23908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11100 ÷ 215
    11100 ÷ 32768     		x = 0.3387451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23908 ÷ 215
    23908 ÷ 32768     		y = 0.7296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3387451171875 × 2 - 1) × π
    -0.322509765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01319431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7296142578125 × 2 - 1) × π
    -0.459228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44270893096521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01319431} λ = -1.01319431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44270893096521))-π/2
    2×atan(0.236286806279973)-π/2
    2×0.232031071951183-π/2
    0.464062143902366-1.57079632675     		φ = -1.10673418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01319431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.051758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10673418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.411198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11100 KachelY 23908 -1.01319431 -1.10673418 -58.051758 -63.411198
    Oben rechts KachelX + 1 11101 KachelY 23908 -1.01300256 -1.10673418 -58.040771 -63.411198
    Unten links KachelX 11100 KachelY + 1 23909 -1.01319431 -1.10682000 -58.051758 -63.416115
    Unten rechts KachelX + 1 11101 KachelY + 1 23909 -1.01300256 -1.10682000 -58.040771 -63.416115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10673418--1.10682000) × R
    8.58200000000142e-05 × 6371000     		dl = 546.759220000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10673418--1.10682000) × R
    8.58200000000142e-05 × 6371000     		dr = 546.759220000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01319431--1.01300256) × cos(-1.10673418) × R
    0.000191749999999935 × 0.447584330939125 × 6371000     		do = 546.786586360039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01319431--1.01300256) × cos(-1.10682000) × R
    0.000191749999999935 × 0.447507585465944 × 6371000     		du = 546.692831077742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10673418)-sin(-1.10682000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447584330939125-0.447507585465944)×R²
    abs(-1.01300256--1.01319431)×7.67454731811501e-05×R²
    0.000191749999999935×7.67454731811501e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.67454731811501e-05×40589641000000     		ar = 298934.97686533m²