Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1110 / 978
↖ ↑ ↗
← N  8.059230°
E 15.117188°		 ← 19.353 km → N  8.059230°
E 15.292969°		 →
↑
19.357 km
↓
↑
19.357 km
↓
N  7.885147°
E 15.117188°		 ← 19.361 km →
374.696 km²		 N  7.885147°
E 15.292969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542236328125 y=0.477783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542236328125 × 211)
    floor (0.542236328125 × 2048)
    floor (1110.5)     		tx = 1110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.477783203125 × 211)
    floor (0.477783203125 × 2048)
    floor (978.5)     		ty = 978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1110 / 978 ti = "11/1110/978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1110/978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1110 ÷ 211
    1110 ÷ 2048     		x = 0.5419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 978 ÷ 211
    978 ÷ 2048     		y = 0.4775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5419921875 × 2 - 1) × π
    0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4775390625 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.141126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26384470} λ = 0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.141126232481445))-π/2
    2×atan(1.15157000434941)-π/2
    2×0.855728209479911-π/2
    1.71145641895982-1.57079632675     		φ = 0.14066009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.14066009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.059230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1110 KachelY 978 0.26384470 0.14066009 15.117188 8.059230
    Oben rechts KachelX + 1 1111 KachelY 978 0.26691266 0.14066009 15.292969 8.059230
    Unten links KachelX 1110 KachelY + 1 979 0.26384470 0.13762178 15.117188 7.885147
    Unten rechts KachelX + 1 1111 KachelY + 1 979 0.26691266 0.13762178 15.292969 7.885147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.14066009-0.13762178) × R
    0.00303830999999999 × 6371000     		dl = 19357.0730099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.14066009-0.13762178) × R
    0.00303830999999999 × 6371000     		dr = 19357.0730099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26384470-0.26691266) × cos(0.14066009) × R
    0.00306796000000004 × 0.990123669476922 × 6371000     		do = 19352.9306686769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26384470-0.26691266) × cos(0.13762178) × R
    0.00306796000000004 × 0.990545059830871 × 6371000     		du = 19361.167153225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.14066009)-sin(0.13762178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990123669476922-0.990545059830871)×R²
    abs(0.26691266-0.26384470)×0.000421390353948947×R²
    0.00306796000000004×0.000421390353948947×6371000²
    0.00306796000000004×0.000421390353948947×40589641000000     		ar = 374696097.272665m²