Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11096 / 23944
↖ ↑ ↗
← S 63.587675°
W 58.095703°		 ← 543.42 m → S 63.587675°
W 58.084717°		 →
↑
543.32 m
↓
↑
543.32 m
↓
S 63.592562°
W 58.095703°		 ← 543.33 m →
295 225 m²		 S 63.592562°
W 58.084717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338638305664062 y=0.730728149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338638305664062 × 215)
    floor (0.338638305664062 × 32768)
    floor (11096.5)     		tx = 11096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730728149414062 × 215)
    floor (0.730728149414062 × 32768)
    floor (23944.5)     		ty = 23944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11096 / 23944 ti = "15/11096/23944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11096/23944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11096 ÷ 215
    11096 ÷ 32768     		x = 0.338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23944 ÷ 215
    23944 ÷ 32768     		y = 0.730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.32275390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01396130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730712890625 × 2 - 1) × π
    -0.46142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4496118445105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01396130} λ = -1.01396130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4496118445105))-π/2
    2×atan(0.234661355511811)-π/2
    2×0.23049101461585-π/2
    0.460982029231701-1.57079632675     		φ = -1.10981430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01396130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.095703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10981430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.587675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11096 KachelY 23944 -1.01396130 -1.10981430 -58.095703 -63.587675
    Oben rechts KachelX + 1 11097 KachelY 23944 -1.01376955 -1.10981430 -58.084717 -63.587675
    Unten links KachelX 11096 KachelY + 1 23945 -1.01396130 -1.10989958 -58.095703 -63.592562
    Unten rechts KachelX + 1 11097 KachelY + 1 23945 -1.01376955 -1.10989958 -58.084717 -63.592562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10981430--1.10989958) × R
    8.52799999999654e-05 × 6371000     		dl = 543.318879999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10981430--1.10989958) × R
    8.52799999999654e-05 × 6371000     		dr = 543.318879999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01396130--1.01376955) × cos(-1.10981430) × R
    0.000191750000000157 × 0.444827840319719 × 6371000     		do = 543.419149227746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01396130--1.01376955) × cos(-1.10989958) × R
    0.000191750000000157 × 0.444751460561549 × 6371000     		du = 543.32584071726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10981430)-sin(-1.10989958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444827840319719-0.444751460561549)×R²
    abs(-1.01376955--1.01396130)×7.63797581697645e-05×R²
    0.000191750000000157×7.63797581697645e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.63797581697645e-05×40589641000000     		ar = 295224.535570749m²