Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11093 / 23943
↖ ↑ ↗
← S 63.582788°
W 58.128662°		 ← 543.48 m → S 63.582788°
W 58.117676°		 →
↑
543.45 m
↓
↑
543.45 m
↓
S 63.587675°
W 58.128662°		 ← 543.39 m →
295 329 m²		 S 63.587675°
W 58.117676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338546752929688 y=0.730697631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338546752929688 × 215)
    floor (0.338546752929688 × 32768)
    floor (11093.5)     		tx = 11093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730697631835938 × 215)
    floor (0.730697631835938 × 32768)
    floor (23943.5)     		ty = 23943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11093 / 23943 ti = "15/11093/23943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11093/23943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11093 ÷ 215
    11093 ÷ 32768     		x = 0.338531494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23943 ÷ 215
    23943 ÷ 32768     		y = 0.730682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.32293701171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01453654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730682373046875 × 2 - 1) × π
    -0.46136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44942009691202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01453654} λ = -1.01453654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44942009691202))-π/2
    2×atan(0.234706355577376)-π/2
    2×0.230533665613238-π/2
    0.461067331226476-1.57079632675     		φ = -1.10972900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01453654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.128662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10972900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.582788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11093 KachelY 23943 -1.01453654 -1.10972900 -58.128662 -63.582788
    Oben rechts KachelX + 1 11094 KachelY 23943 -1.01434480 -1.10972900 -58.117676 -63.582788
    Unten links KachelX 11093 KachelY + 1 23944 -1.01453654 -1.10981430 -58.128662 -63.587675
    Unten rechts KachelX + 1 11094 KachelY + 1 23944 -1.01434480 -1.10981430 -58.117676 -63.587675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10972900--1.10981430) × R
    8.53000000000659e-05 × 6371000     		dl = 543.44630000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10972900--1.10981430) × R
    8.53000000000659e-05 × 6371000     		dr = 543.44630000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01453654--1.01434480) × cos(-1.10972900) × R
    0.000191739999999996 × 0.444904234754362 × 6371000     		do = 543.484130818335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01453654--1.01434480) × cos(-1.10981430) × R
    0.000191739999999996 × 0.444827840319719 × 6371000     		du = 543.390809245582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10972900)-sin(-1.10981430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444904234754362-0.444827840319719)×R²
    abs(-1.01434480--1.01453654)×7.63944346430789e-05×R²
    0.000191739999999996×7.63944346430789e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.63944346430789e-05×40589641000000     		ar = 295329.082549604m²