Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11092 / 23947
↖ ↑ ↗
← S 63.602333°
W 58.139648°		 ← 543.14 m → S 63.602333°
W 58.128662°		 →
↑
543.06 m
↓
↑
543.06 m
↓
S 63.607217°
W 58.139648°		 ← 543.05 m →
294 934 m²		 S 63.607217°
W 58.128662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338516235351562 y=0.730819702148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338516235351562 × 215)
    floor (0.338516235351562 × 32768)
    floor (11092.5)     		tx = 11092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730819702148438 × 215)
    floor (0.730819702148438 × 32768)
    floor (23947.5)     		ty = 23947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11092 / 23947 ti = "15/11092/23947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11092/23947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11092 ÷ 215
    11092 ÷ 32768     		x = 0.3385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23947 ÷ 215
    23947 ÷ 32768     		y = 0.730804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01472829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.46160888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45018708730594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01472829} λ = -1.01472829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45018708730594))-π/2
    2×atan(0.234526407075464)-π/2
    2×0.230363105563431-π/2
    0.460726211126862-1.57079632675     		φ = -1.11007012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01472829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.139648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11007012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.602333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11092 KachelY 23947 -1.01472829 -1.11007012 -58.139648 -63.602333
    Oben rechts KachelX + 1 11093 KachelY 23947 -1.01453654 -1.11007012 -58.128662 -63.602333
    Unten links KachelX 11092 KachelY + 1 23948 -1.01472829 -1.11015536 -58.139648 -63.607217
    Unten rechts KachelX + 1 11093 KachelY + 1 23948 -1.01453654 -1.11015536 -58.128662 -63.607217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11007012--1.11015536) × R
    8.52399999999864e-05 × 6371000     		dl = 543.064039999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11007012--1.11015536) × R
    8.52399999999864e-05 × 6371000     		dr = 543.064039999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01472829--1.01453654) × cos(-1.11007012) × R
    0.000191750000000157 × 0.444598709256759 × 6371000     		do = 543.13923372784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01472829--1.01453654) × cos(-1.11015536) × R
    0.000191750000000157 × 0.444522355628122 × 6371000     		du = 543.045957138217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11007012)-sin(-1.11015536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444598709256759-0.444522355628122)×R²
    abs(-1.01453654--1.01472829)×7.63536286373379e-05×R²
    0.000191750000000157×7.63536286373379e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.63536286373379e-05×40589641000000     		ar = 294934.059148036m²