Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 110914 / 45634
↖ ↑ ↗
← N 47.868459°
E124.634399°		 ← 204.89 m → N 47.868459°
E124.637146°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
N 47.866617°
E124.634399°		 ← 204.90 m →
41 981 m²		 N 47.866617°
E124.637146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 110914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.846210479736328 y=0.348163604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.846210479736328 × 217)
    floor (0.846210479736328 × 131072)
    floor (110914.5)     		tx = 110914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348163604736328 × 217)
    floor (0.348163604736328 × 131072)
    floor (45634.5)     		ty = 45634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 110914 / 45634 ti = "17/110914/45634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/110914/45634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 110914 ÷ 217
    110914 ÷ 131072     		x = 0.846206665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45634 ÷ 217
    45634 ÷ 131072     		y = 0.348159790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.846206665039062 × 2 - 1) × π
    0.692413330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.17528063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348159790039062 × 2 - 1) × π
    0.303680419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.954040176238358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.17528063} λ = 2.17528063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954040176238358))-π/2
    2×atan(2.59617751379025)-π/2
    2×1.20312927290583-π/2
    2.40625854581166-1.57079632675     		φ = 0.83546222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.17528063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 124.634399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83546222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.868459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 110914 KachelY 45634 2.17528063 0.83546222 124.634399 47.868459
    Oben rechts KachelX + 1 110915 KachelY 45634 2.17532857 0.83546222 124.637146 47.868459
    Unten links KachelX 110914 KachelY + 1 45635 2.17528063 0.83543006 124.634399 47.866617
    Unten rechts KachelX + 1 110915 KachelY + 1 45635 2.17532857 0.83543006 124.637146 47.866617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83546222-0.83543006) × R
    3.21600000000588e-05 × 6371000     		dl = 204.891360000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83546222-0.83543006) × R
    3.21600000000588e-05 × 6371000     		dr = 204.891360000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.17528063-2.17532857) × cos(0.83546222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670834968900734 × 6371000     		do = 204.890266794249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.17528063-2.17532857) × cos(0.83543006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670858818624143 × 6371000     		du = 204.89755111367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83546222)-sin(0.83543006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670834968900734-0.670858818624143)×R²
    abs(2.17532857-2.17528063)×2.38497234082979e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38497234082979e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38497234082979e-05×40589641000000     		ar = 41980.9916649652m²