Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1109 / 867
↖ ↑ ↗
← N 80.393732°
W131.264649°		 ← 815.44 m → N 80.393732°
W131.220703°		 →
↑
815.74 m
↓
↑
815.74 m
↓
N 80.386396°
W131.264649°		 ← 816.06 m →
665 442 m²		 N 80.386396°
W131.220703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13543701171875 y=0.10589599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13543701171875 × 213)
    floor (0.13543701171875 × 8192)
    floor (1109.5)     		tx = 1109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10589599609375 × 213)
    floor (0.10589599609375 × 8192)
    floor (867.5)     		ty = 867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1109 / 867 ti = "13/1109/867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1109/867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1109 ÷ 213
    1109 ÷ 8192     		x = 0.1353759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 867 ÷ 213
    867 ÷ 8192     		y = 0.1058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1353759765625 × 2 - 1) × π
    -0.729248046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29100031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1058349609375 × 2 - 1) × π
    0.788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47661198197058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29100031} λ = -2.29100031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47661198197058))-π/2
    2×atan(11.9008756562677)-π/2
    2×1.48696582449431-π/2
    2.97393164898861-1.57079632675     		φ = 1.40313532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29100031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.264649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40313532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.393732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1109 KachelY 867 -2.29100031 1.40313532 -131.264649 80.393732
    Oben rechts KachelX + 1 1110 KachelY 867 -2.29023332 1.40313532 -131.220703 80.393732
    Unten links KachelX 1109 KachelY + 1 868 -2.29100031 1.40300728 -131.264649 80.386396
    Unten rechts KachelX + 1 1110 KachelY + 1 868 -2.29023332 1.40300728 -131.220703 80.386396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40313532-1.40300728) × R
    0.000128040000000107 × 6371000     		dl = 815.742840000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40313532-1.40300728) × R
    0.000128040000000107 × 6371000     		dr = 815.742840000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29100031--2.29023332) × cos(1.40313532) × R
    0.000766989999999801 × 0.166876612307392 × 6371000     		do = 815.441446297792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29100031--2.29023332) × cos(1.40300728) × R
    0.000766989999999801 × 0.167002855534975 × 6371000     		du = 816.058332982281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40313532)-sin(1.40300728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166876612307392-0.167002855534975)×R²
    abs(-2.29023332--2.29100031)×0.000126243227582395×R²
    0.000766989999999801×0.000126243227582395×6371000²
    0.000766989999999801×0.000126243227582395×40589641000000     		ar = 665442.132613817m²