Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1109 / 1502
↖ ↑ ↗
← S 64.014496°
E 14.941406°		 ← 8 563.97 m → S 64.014496°
E 15.117188°		 →
↑
8 552.11 m
↓
↑
8 552.11 m
↓
S 64.091407°
E 14.941406°		 ← 8 540.38 m →
73 139 186 m²		 S 64.091407°
E 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541748046875 y=0.733642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541748046875 × 211)
    floor (0.541748046875 × 2048)
    floor (1109.5)     		tx = 1109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733642578125 × 211)
    floor (0.733642578125 × 2048)
    floor (1502.5)     		ty = 1502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1109 / 1502 ti = "11/1109/1502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1109/1502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1109 ÷ 211
    1109 ÷ 2048     		x = 0.54150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1502 ÷ 211
    1502 ÷ 2048     		y = 0.7333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54150390625 × 2 - 1) × π
    0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7333984375 × 2 - 1) × π
    -0.466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46648563317676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26077673} λ = 0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46648563317676))-π/2
    2×atan(0.230734949227341)-π/2
    2×0.22676629960392-π/2
    0.45353259920784-1.57079632675     		φ = -1.11726373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11726373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.014496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1109 KachelY 1502 0.26077673 -1.11726373 14.941406 -64.014496
    Oben rechts KachelX + 1 1110 KachelY 1502 0.26384470 -1.11726373 15.117188 -64.014496
    Unten links KachelX 1109 KachelY + 1 1503 0.26077673 -1.11860608 14.941406 -64.091407
    Unten rechts KachelX + 1 1110 KachelY + 1 1503 0.26384470 -1.11860608 15.117188 -64.091407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11726373--1.11860608) × R
    0.00134235000000005 × 6371000     		dl = 8552.1118500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11726373--1.11860608) × R
    0.00134235000000005 × 6371000     		dr = 8552.1118500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26077673-0.26384470) × cos(-1.11726373) × R
    0.00306796999999998 × 0.438143730026227 × 6371000     		do = 8563.9735014519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26077673-0.26384470) × cos(-1.11860608) × R
    0.00306796999999998 × 0.436936690610512 × 6371000     		du = 8540.38066452879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11726373)-sin(-1.11860608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438143730026227-0.436936690610512)×R²
    abs(0.26384470-0.26077673)×0.00120703941571498×R²
    0.00306796999999998×0.00120703941571498×6371000²
    0.00306796999999998×0.00120703941571498×40589641000000     		ar = 73139185.9572251m²