Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1109 / 1190
↖ ↑ ↗
← S 27.994402°
E 14.941406°		 ← 17.259 km → S 27.994402°
E 15.117188°		 →
↑
17.246 km
↓
↑
17.246 km
↓
S 28.149503°
E 14.941406°		 ← 17.234 km →
297.443 km²		 S 28.149503°
E 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541748046875 y=0.581298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541748046875 × 211)
    floor (0.541748046875 × 2048)
    floor (1109.5)     		tx = 1109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581298828125 × 211)
    floor (0.581298828125 × 2048)
    floor (1190.5)     		ty = 1190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1109 / 1190 ti = "11/1109/1190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1109/1190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1109 ÷ 211
    1109 ÷ 2048     		x = 0.54150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1190 ÷ 211
    1190 ÷ 2048     		y = 0.5810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54150390625 × 2 - 1) × π
    0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26077673} λ = 0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509281621563477))-π/2
    2×atan(0.600927116872572)-π/2
    2×0.541100925030024-π/2
    1.08220185006005-1.57079632675     		φ = -0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1109 KachelY 1190 0.26077673 -0.48859448 14.941406 -27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 1110 KachelY 1190 0.26384470 -0.48859448 15.117188 -27.994402
    Unten links KachelX 1109 KachelY + 1 1191 0.26077673 -0.49130151 14.941406 -28.149503
    Unten rechts KachelX + 1 1110 KachelY + 1 1191 0.26384470 -0.49130151 15.117188 -28.149503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48859448--0.49130151) × R
    0.00270703 × 6371000     		dl = 17246.48813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48859448--0.49130151) × R
    0.00270703 × 6371000     		dr = 17246.48813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26077673-0.26384470) × cos(-0.48859448) × R
    0.00306796999999998 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 17259.0227441374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26077673-0.26384470) × cos(-0.49130151) × R
    0.00306796999999998 × 0.881719587179151 × 6371000     		du = 17234.1235600047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48859448)-sin(-0.49130151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.881719587179151)×R²
    abs(0.26384470-0.26077673)×0.00127387379335497×R²
    0.00306796999999998×0.00127387379335497×6371000²
    0.00306796999999998×0.00127387379335497×40589641000000     		ar = 297443000.789198m²