Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11083 / 6977
↖ ↑ ↗
← N 80.356075°
W119.119263°		 ← 102.33 m → N 80.356075°
W119.113769°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
N 80.355155°
W119.119263°		 ← 102.34 m →
10 478 m²		 N 80.355155°
W119.113769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169120788574219 y=0.106468200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169120788574219 × 216)
    floor (0.169120788574219 × 65536)
    floor (11083.5)     		tx = 11083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106468200683594 × 216)
    floor (0.106468200683594 × 65536)
    floor (6977.5)     		ty = 6977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11083 / 6977 ti = "16/11083/6977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11083/6977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11083 ÷ 216
    11083 ÷ 65536     		x = 0.169113159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6977 ÷ 216
    6977 ÷ 65536     		y = 0.106460571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169113159179688 × 2 - 1) × π
    -0.661773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.07902334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106460571289062 × 2 - 1) × π
    0.787078857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47268115620174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07902334} λ = -2.07902334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47268115620174))-π/2
    2×atan(11.8541872097573)-π/2
    2×1.48663720667639-π/2
    2.97327441335278-1.57079632675     		φ = 1.40247809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07902334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.119263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40247809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.356075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11083 KachelY 6977 -2.07902334 1.40247809 -119.119263 80.356075
    Oben rechts KachelX + 1 11084 KachelY 6977 -2.07892746 1.40247809 -119.113769 80.356075
    Unten links KachelX 11083 KachelY + 1 6978 -2.07902334 1.40246202 -119.119263 80.355155
    Unten rechts KachelX + 1 11084 KachelY + 1 6978 -2.07892746 1.40246202 -119.113769 80.355155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40247809-1.40246202) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40247809-1.40246202) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07902334--2.07892746) × cos(1.40247809) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167524590400345 × 6371000     		do = 102.332643982377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07902334--2.07892746) × cos(1.40246202) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167540433275828 × 6371000     		du = 102.342321626314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40247809)-sin(1.40246202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167524590400345-0.167540433275828)×R²
    abs(-2.07892746--2.07902334)×1.58428754833684e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.58428754833684e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.58428754833684e-05×40589641000000     		ar = 10477.5130945788m²