Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11082 / 23927
↖ ↑ ↗
← S 63.504475°
W 58.249512°		 ← 545.01 m → S 63.504475°
W 58.238525°		 →
↑
544.98 m
↓
↑
544.98 m
↓
S 63.509376°
W 58.249512°		 ← 544.91 m →
296 990 m²		 S 63.509376°
W 58.238525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338211059570312 y=0.730209350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338211059570312 × 215)
    floor (0.338211059570312 × 32768)
    floor (11082.5)     		tx = 11082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730209350585938 × 215)
    floor (0.730209350585938 × 32768)
    floor (23927.5)     		ty = 23927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11082 / 23927 ti = "15/11082/23927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11082/23927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11082 ÷ 215
    11082 ÷ 32768     		x = 0.33819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23927 ÷ 215
    23927 ÷ 32768     		y = 0.730194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33819580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3236083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01664577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730194091796875 × 2 - 1) × π
    -0.46038818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44635213533633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01664577} λ = -1.01664577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44635213533633))-π/2
    2×atan(0.235427531361989)-π/2
    2×0.231217078397832-π/2
    0.462434156795664-1.57079632675     		φ = -1.10836217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01664577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.249512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10836217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.504475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11082 KachelY 23927 -1.01664577 -1.10836217 -58.249512 -63.504475
    Oben rechts KachelX + 1 11083 KachelY 23927 -1.01645402 -1.10836217 -58.238525 -63.504475
    Unten links KachelX 11082 KachelY + 1 23928 -1.01664577 -1.10844771 -58.249512 -63.509376
    Unten rechts KachelX + 1 11083 KachelY + 1 23928 -1.01645402 -1.10844771 -58.238525 -63.509376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10836217--1.10844771) × R
    8.55400000001616e-05 × 6371000     		dl = 544.97534000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10836217--1.10844771) × R
    8.55400000001616e-05 × 6371000     		dr = 544.97534000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01664577--1.01645402) × cos(-1.10836217) × R
    0.000191749999999935 × 0.446127921864945 × 6371000     		do = 545.007379870966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01664577--1.01645402) × cos(-1.10844771) × R
    0.000191749999999935 × 0.44605136456709 × 6371000     		du = 544.913854471032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10836217)-sin(-1.10844771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446127921864945-0.44605136456709)×R²
    abs(-1.01645402--1.01664577)×7.65572978548845e-05×R²
    0.000191749999999935×7.65572978548845e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.65572978548845e-05×40589641000000     		ar = 296990.097811273m²