Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 11081 / 6976
↖ ↑ ↗
← N 80.356996°
W119.130249°		 ← 102.31 m → N 80.356996°
W119.124756°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
N 80.356075°
W119.130249°		 ← 102.32 m →
10 469 m²		 N 80.356075°
W119.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169090270996094 y=0.106452941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169090270996094 × 216)
    floor (0.169090270996094 × 65536)
    floor (11081.5)     		tx = 11081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106452941894531 × 216)
    floor (0.106452941894531 × 65536)
    floor (6976.5)     		ty = 6976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 11081 / 6976 ti = "16/11081/6976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/11081/6976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11081 ÷ 216
    11081 ÷ 65536     		x = 0.169082641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6976 ÷ 216
    6976 ÷ 65536     		y = 0.1064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169082641601562 × 2 - 1) × π
    -0.661834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.07921508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1064453125 × 2 - 1) × π
    0.787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47277703000098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07921508} λ = -2.07921508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47277703000098))-π/2
    2×atan(11.8553237702043)-π/2
    2×1.48664523690651-π/2
    2.97329047381303-1.57079632675     		φ = 1.40249415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07921508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.130249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40249415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.356996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11081 KachelY 6976 -2.07921508 1.40249415 -119.130249 80.356996
    Oben rechts KachelX + 1 11082 KachelY 6976 -2.07911921 1.40249415 -119.124756 80.356996
    Unten links KachelX 11081 KachelY + 1 6977 -2.07921508 1.40247809 -119.130249 80.356075
    Unten rechts KachelX + 1 11082 KachelY + 1 6977 -2.07911921 1.40247809 -119.124756 80.356075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40249415-1.40247809) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dl = 102.318260000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40249415-1.40247809) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dr = 102.318260000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07921508--2.07911921) × cos(1.40249415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167508757340305 × 6371000     		do = 102.312300351354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07921508--2.07911921) × cos(1.40247809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167524590400345 × 6371000     		du = 102.321970990788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40249415)-sin(1.40247809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167508757340305-0.167524590400345)×R²
    abs(-2.07911921--2.07921508)×1.58330600398826e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58330600398826e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58330600398826e-05×40589641000000     		ar = 10468.9112903649m²