Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11081 / 23929
↖ ↑ ↗
← S 63.514276°
W 58.260498°		 ← 544.79 m → S 63.514276°
W 58.249512°		 →
↑
544.78 m
↓
↑
544.78 m
↓
S 63.519175°
W 58.260498°		 ← 544.70 m →
296 769 m²		 S 63.519175°
W 58.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338180541992188 y=0.730270385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338180541992188 × 215)
    floor (0.338180541992188 × 32768)
    floor (11081.5)     		tx = 11081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730270385742188 × 215)
    floor (0.730270385742188 × 32768)
    floor (23929.5)     		ty = 23929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11081 / 23929 ti = "15/11081/23929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11081/23929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11081 ÷ 215
    11081 ÷ 32768     		x = 0.338165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23929 ÷ 215
    23929 ÷ 32768     		y = 0.730255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.32366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01683751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.46051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44673563053329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01683751} λ = -1.01683751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44673563053329))-π/2
    2×atan(0.235337263344261)-π/2
    2×0.231131549118981-π/2
    0.462263098237963-1.57079632675     		φ = -1.10853323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01683751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.260498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10853323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.514276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11081 KachelY 23929 -1.01683751 -1.10853323 -58.260498 -63.514276
    Oben rechts KachelX + 1 11082 KachelY 23929 -1.01664577 -1.10853323 -58.249512 -63.514276
    Unten links KachelX 11081 KachelY + 1 23930 -1.01683751 -1.10861874 -58.260498 -63.519175
    Unten rechts KachelX + 1 11082 KachelY + 1 23930 -1.01664577 -1.10861874 -58.249512 -63.519175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10853323--1.10861874) × R
    8.55100000001219e-05 × 6371000     		dl = 544.784210000777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10853323--1.10861874) × R
    8.55100000001219e-05 × 6371000     		dr = 544.784210000777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01683751--1.01664577) × cos(-1.10853323) × R
    0.000191739999999996 × 0.445974821906347 × 6371000     		do = 544.791933896638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01683751--1.01664577) × cos(-1.10861874) × R
    0.000191739999999996 × 0.445898284934728 × 6371000     		du = 544.698438204202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10853323)-sin(-1.10861874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445974821906347-0.445898284934728)×R²
    abs(-1.01664577--1.01683751)×7.6536971619745e-05×R²
    0.000191739999999996×7.6536971619745e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.6536971619745e-05×40589641000000     		ar = 296768.576015761m²