Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11081 / 23925
↖ ↑ ↗
← S 63.494670°
W 58.260498°		 ← 545.17 m → S 63.494670°
W 58.249512°		 →
↑
545.17 m
↓
↑
545.17 m
↓
S 63.499573°
W 58.260498°		 ← 545.07 m →
297 181 m²		 S 63.499573°
W 58.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338180541992188 y=0.730148315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338180541992188 × 215)
    floor (0.338180541992188 × 32768)
    floor (11081.5)     		tx = 11081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730148315429688 × 215)
    floor (0.730148315429688 × 32768)
    floor (23925.5)     		ty = 23925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11081 / 23925 ti = "15/11081/23925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11081/23925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11081 ÷ 215
    11081 ÷ 32768     		x = 0.338165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23925 ÷ 215
    23925 ÷ 32768     		y = 0.730133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.32366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01683751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730133056640625 × 2 - 1) × π
    -0.46026611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44596864013937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01683751} λ = -1.01683751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44596864013937))-π/2
    2×atan(0.235517834003706)-π/2
    2×0.231302637036771-π/2
    0.462605274073542-1.57079632675     		φ = -1.10819105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01683751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.260498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10819105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.494670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11081 KachelY 23925 -1.01683751 -1.10819105 -58.260498 -63.494670
    Oben rechts KachelX + 1 11082 KachelY 23925 -1.01664577 -1.10819105 -58.249512 -63.494670
    Unten links KachelX 11081 KachelY + 1 23926 -1.01683751 -1.10827662 -58.260498 -63.499573
    Unten rechts KachelX + 1 11082 KachelY + 1 23926 -1.01664577 -1.10827662 -58.249512 -63.499573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10819105--1.10827662) × R
    8.55699999999793e-05 × 6371000     		dl = 545.166469999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10819105--1.10827662) × R
    8.55699999999793e-05 × 6371000     		dr = 545.166469999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01683751--1.01664577) × cos(-1.10819105) × R
    0.000191739999999996 × 0.446281062462732 × 6371000     		do = 545.166029869674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01683751--1.01664577) × cos(-1.10827662) × R
    0.000191739999999996 × 0.446204484847751 × 6371000     		du = 545.072484528302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10819105)-sin(-1.10827662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446281062462732-0.446204484847751)×R²
    abs(-1.01664577--1.01683751)×7.65776149808106e-05×R²
    0.000191739999999996×7.65776149808106e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.65776149808106e-05×40589641000000     		ar = 297180.741357454m²