Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11080 / 23928
↖ ↑ ↗
← S 63.509376°
W 58.271484°		 ← 544.91 m → S 63.509376°
W 58.260498°		 →
↑
544.85 m
↓
↑
544.85 m
↓
S 63.514276°
W 58.271484°		 ← 544.82 m →
296 870 m²		 S 63.514276°
W 58.260498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338150024414062 y=0.730239868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338150024414062 × 215)
    floor (0.338150024414062 × 32768)
    floor (11080.5)     		tx = 11080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730239868164062 × 215)
    floor (0.730239868164062 × 32768)
    floor (23928.5)     		ty = 23928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11080 / 23928 ti = "15/11080/23928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11080/23928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11080 ÷ 215
    11080 ÷ 32768     		x = 0.338134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23928 ÷ 215
    23928 ÷ 32768     		y = 0.730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.32373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01702926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.46044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44654388293481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01702926} λ = -1.01702926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44654388293481))-π/2
    2×atan(0.235382393025956)-π/2
    2×0.231174310088869-π/2
    0.462348620177738-1.57079632675     		φ = -1.10844771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01702926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10844771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.509376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11080 KachelY 23928 -1.01702926 -1.10844771 -58.271484 -63.509376
    Oben rechts KachelX + 1 11081 KachelY 23928 -1.01683751 -1.10844771 -58.260498 -63.509376
    Unten links KachelX 11080 KachelY + 1 23929 -1.01702926 -1.10853323 -58.271484 -63.514276
    Unten rechts KachelX + 1 11081 KachelY + 1 23929 -1.01683751 -1.10853323 -58.260498 -63.514276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10844771--1.10853323) × R
    8.55199999998391e-05 × 6371000     		dl = 544.847919998975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10844771--1.10853323) × R
    8.55199999998391e-05 × 6371000     		dr = 544.847919998975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01702926--1.01683751) × cos(-1.10844771) × R
    0.000191749999999935 × 0.44605136456709 × 6371000     		do = 544.913854471032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01702926--1.01683751) × cos(-1.10853323) × R
    0.000191749999999935 × 0.445974821906347 × 6371000     		du = 544.820346952369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10844771)-sin(-1.10853323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44605136456709-0.445974821906347)×R²
    abs(-1.01683751--1.01702926)×7.65426607430841e-05×R²
    0.000191749999999935×7.65426607430841e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.65426607430841e-05×40589641000000     		ar = 296869.706678867m²