Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11069 / 23823
↖ ↑ ↗
← S 62.990169°
W 58.392334°		 ← 554.80 m → S 62.990169°
W 58.381348°		 →
↑
554.79 m
↓
↑
554.79 m
↓
S 62.995159°
W 58.392334°		 ← 554.70 m →
307 769 m²		 S 62.995159°
W 58.381348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337814331054688 y=0.727035522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337814331054688 × 215)
    floor (0.337814331054688 × 32768)
    floor (11069.5)     		tx = 11069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727035522460938 × 215)
    floor (0.727035522460938 × 32768)
    floor (23823.5)     		ty = 23823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11069 / 23823 ti = "15/11069/23823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11069/23823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11069 ÷ 215
    11069 ÷ 32768     		x = 0.337799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23823 ÷ 215
    23823 ÷ 32768     		y = 0.727020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.32440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01913849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727020263671875 × 2 - 1) × π
    -0.45404052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42641038509439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01913849} λ = -1.01913849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42641038509439))-π/2
    2×atan(0.240169492752387)-π/2
    2×0.235705236235255-π/2
    0.47141047247051-1.57079632675     		φ = -1.09938585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01913849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09938585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.990169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11069 KachelY 23823 -1.01913849 -1.09938585 -58.392334 -62.990169
    Oben rechts KachelX + 1 11070 KachelY 23823 -1.01894674 -1.09938585 -58.381348 -62.990169
    Unten links KachelX 11069 KachelY + 1 23824 -1.01913849 -1.09947293 -58.392334 -62.995159
    Unten rechts KachelX + 1 11070 KachelY + 1 23824 -1.01894674 -1.09947293 -58.381348 -62.995159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09938585--1.09947293) × R
    8.70799999999061e-05 × 6371000     		dl = 554.786679999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09938585--1.09947293) × R
    8.70799999999061e-05 × 6371000     		dr = 554.786679999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01913849--1.01894674) × cos(-1.09938585) × R
    0.000191749999999935 × 0.454143370847611 × 6371000     		do = 554.79936695456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01913849--1.01894674) × cos(-1.09947293) × R
    0.000191749999999935 × 0.454065787061965 × 6371000     		du = 554.704587556851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09938585)-sin(-1.09947293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454143370847611-0.454065787061965)×R²
    abs(-1.01894674--1.01913849)×7.75837856464845e-05×R²
    0.000191749999999935×7.75837856464845e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.75837856464845e-05×40589641000000     		ar = 307769.007879682m²