Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11066 / 23808
↖ ↑ ↗
← S 62.915233°
W 58.425293°		 ← 556.22 m → S 62.915233°
W 58.414307°		 →
↑
556.12 m
↓
↑
556.12 m
↓
S 62.920235°
W 58.425293°		 ← 556.13 m →
309 303 m²		 S 62.920235°
W 58.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337722778320312 y=0.726577758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337722778320312 × 215)
    floor (0.337722778320312 × 32768)
    floor (11066.5)     		tx = 11066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726577758789062 × 215)
    floor (0.726577758789062 × 32768)
    floor (23808.5)     		ty = 23808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11066 / 23808 ti = "15/11066/23808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11066/23808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11066 ÷ 215
    11066 ÷ 32768     		x = 0.33770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23808 ÷ 215
    23808 ÷ 32768     		y = 0.7265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.3245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01971373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7265625 × 2 - 1) × π
    -0.453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01971373} λ = -1.01971373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42353417111719))-π/2
    2×atan(0.240861265971343)-π/2
    2×0.236359180307522-π/2
    0.472718360615044-1.57079632675     		φ = -1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01971373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11066 KachelY 23808 -1.01971373 -1.09807797 -58.425293 -62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 11067 KachelY 23808 -1.01952198 -1.09807797 -58.414307 -62.915233
    Unten links KachelX 11066 KachelY + 1 23809 -1.01971373 -1.09816526 -58.425293 -62.920235
    Unten rechts KachelX + 1 11067 KachelY + 1 23809 -1.01952198 -1.09816526 -58.414307 -62.920235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09807797--1.09816526) × R
    8.72899999999621e-05 × 6371000     		dl = 556.124589999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09807797--1.09816526) × R
    8.72899999999621e-05 × 6371000     		dr = 556.124589999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01971373--1.01952198) × cos(-1.09807797) × R
    0.000191750000000157 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 556.222379959165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01971373--1.01952198) × cos(-1.09816526) × R
    0.000191750000000157 × 0.455230490836502 × 6371000     		du = 556.127435403092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09807797)-sin(-1.09816526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.455230490836502)×R²
    abs(-1.01952198--1.01971373)×7.77189797010469e-05×R²
    0.000191750000000157×7.77189797010469e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.77189797010469e-05×40589641000000     		ar = 309302.542699126m²