Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11066 / 23798
↖ ↑ ↗
← S 62.865169°
W 58.425293°		 ← 557.17 m → S 62.865169°
W 58.414307°		 →
↑
557.08 m
↓
↑
557.08 m
↓
S 62.870179°
W 58.425293°		 ← 557.08 m →
310 363 m²		 S 62.870179°
W 58.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337722778320312 y=0.726272583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337722778320312 × 215)
    floor (0.337722778320312 × 32768)
    floor (11066.5)     		tx = 11066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726272583007812 × 215)
    floor (0.726272583007812 × 32768)
    floor (23798.5)     		ty = 23798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11066 / 23798 ti = "15/11066/23798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11066/23798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11066 ÷ 215
    11066 ÷ 32768     		x = 0.33770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23798 ÷ 215
    23798 ÷ 32768     		y = 0.72625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.3245849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01971373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.4525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42161669513239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01971373} λ = -1.01971373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42161669513239))-π/2
    2×atan(0.241323554736673)-π/2
    2×0.23679607435957-π/2
    0.473592148719139-1.57079632675     		φ = -1.09720418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01971373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09720418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.865169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11066 KachelY 23798 -1.01971373 -1.09720418 -58.425293 -62.865169
    Oben rechts KachelX + 1 11067 KachelY 23798 -1.01952198 -1.09720418 -58.414307 -62.865169
    Unten links KachelX 11066 KachelY + 1 23799 -1.01971373 -1.09729162 -58.425293 -62.870179
    Unten rechts KachelX + 1 11067 KachelY + 1 23799 -1.01952198 -1.09729162 -58.414307 -62.870179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09720418--1.09729162) × R
    8.74399999999387e-05 × 6371000     		dl = 557.080239999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09720418--1.09729162) × R
    8.74399999999387e-05 × 6371000     		dr = 557.080239999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01971373--1.01952198) × cos(-1.09720418) × R
    0.000191750000000157 × 0.456086000750221 × 6371000     		do = 557.172559892456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01971373--1.01952198) × cos(-1.09729162) × R
    0.000191750000000157 × 0.456008183028671 × 6371000     		du = 557.077494709465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09720418)-sin(-1.09729162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456086000750221-0.456008183028671)×R²
    abs(-1.01952198--1.01971373)×7.7817721550133e-05×R²
    0.000191750000000157×7.7817721550133e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.7817721550133e-05×40589641000000     		ar = 310363.344116399m²