Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11064 / 23800
↖ ↑ ↗
← S 62.875188°
W 58.447265°		 ← 556.95 m → S 62.875188°
W 58.436280°		 →
↑
556.95 m
↓
↑
556.95 m
↓
S 62.880197°
W 58.447265°		 ← 556.86 m →
310 170 m²		 S 62.880197°
W 58.436280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337661743164062 y=0.726333618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337661743164062 × 215)
    floor (0.337661743164062 × 32768)
    floor (11064.5)     		tx = 11064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726333618164062 × 215)
    floor (0.726333618164062 × 32768)
    floor (23800.5)     		ty = 23800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11064 / 23800 ti = "15/11064/23800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11064/23800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11064 ÷ 215
    11064 ÷ 32768     		x = 0.337646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23800 ÷ 215
    23800 ÷ 32768     		y = 0.726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.32470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.02009722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726318359375 × 2 - 1) × π
    -0.45263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42200019032935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02009722} λ = -1.02009722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42200019032935))-π/2
    2×atan(0.241231026055804)-π/2
    2×0.236708635885958-π/2
    0.473417271771916-1.57079632675     		φ = -1.09737905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02009722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.447265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09737905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.875188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11064 KachelY 23800 -1.02009722 -1.09737905 -58.447265 -62.875188
    Oben rechts KachelX + 1 11065 KachelY 23800 -1.01990548 -1.09737905 -58.436280 -62.875188
    Unten links KachelX 11064 KachelY + 1 23801 -1.02009722 -1.09746647 -58.447265 -62.880197
    Unten rechts KachelX + 1 11065 KachelY + 1 23801 -1.01990548 -1.09746647 -58.436280 -62.880197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09737905--1.09746647) × R
    8.74200000000602e-05 × 6371000     		dl = 556.952820000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09737905--1.09746647) × R
    8.74200000000602e-05 × 6371000     		dr = 556.952820000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02009722--1.01990548) × cos(-1.09737905) × R
    0.000191739999999996 × 0.455930370720749 × 6371000     		do = 556.953388815587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02009722--1.01990548) × cos(-1.09746647) × R
    0.000191739999999996 × 0.455852563828246 × 6371000     		du = 556.858341818862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09737905)-sin(-1.09746647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455930370720749-0.455852563828246)×R²
    abs(-1.01990548--1.02009722)×7.7806892502863e-05×R²
    0.000191739999999996×7.7806892502863e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.7806892502863e-05×40589641000000     		ar = 310170.292361224m²