Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1106 / 1458
↖ ↑ ↗
← N 74.936567°
W131.396484°		 ← 1 269.94 m → N 74.936567°
W131.352539°		 →
↑
1 270.38 m
↓
↑
1 270.38 m
↓
N 74.925142°
W131.396484°		 ← 1 270.88 m →
1 613 904 m²		 N 74.925142°
W131.352539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13507080078125 y=0.17803955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13507080078125 × 213)
    floor (0.13507080078125 × 8192)
    floor (1106.5)     		tx = 1106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17803955078125 × 213)
    floor (0.17803955078125 × 8192)
    floor (1458.5)     		ty = 1458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1106 / 1458 ti = "13/1106/1458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1106/1458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1106 ÷ 213
    1106 ÷ 8192     		x = 0.135009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1458 ÷ 213
    1458 ÷ 8192     		y = 0.177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135009765625 × 2 - 1) × π
    -0.72998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29330128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.177978515625 × 2 - 1) × π
    0.64404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.02332065916333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29330128} λ = -2.29330128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02332065916333))-π/2
    2×atan(7.56339874918641)-π/2
    2×1.43934307401072-π/2
    2.87868614802144-1.57079632675     		φ = 1.30788982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29330128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.396484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30788982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.936567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1106 KachelY 1458 -2.29330128 1.30788982 -131.396484 74.936567
    Oben rechts KachelX + 1 1107 KachelY 1458 -2.29253429 1.30788982 -131.352539 74.936567
    Unten links KachelX 1106 KachelY + 1 1459 -2.29330128 1.30769042 -131.396484 74.925142
    Unten rechts KachelX + 1 1107 KachelY + 1 1459 -2.29253429 1.30769042 -131.352539 74.925142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30788982-1.30769042) × R
    0.000199400000000072 × 6371000     		dl = 1270.37740000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30788982-1.30769042) × R
    0.000199400000000072 × 6371000     		dr = 1270.37740000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29330128--2.29253429) × cos(1.30788982) × R
    0.000766990000000245 × 0.259888281095977 × 6371000     		do = 1269.94234172553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29330128--2.29253429) × cos(1.30769042) × R
    0.000766990000000245 × 0.260080824283039 × 6371000     		du = 1270.88320271715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30788982)-sin(1.30769042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.259888281095977-0.260080824283039)×R²
    abs(-2.29253429--2.29330128)×0.000192543187062355×R²
    0.000766990000000245×0.000192543187062355×6371000²
    0.000766990000000245×0.000192543187062355×40589641000000     		ar = 1613903.67985075m²