Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1104 / 3223
↖ ↑ ↗
← S 71.272594°
W 82.968750°		 ← 3 137.77 m → S 71.272594°
W 82.880859°		 →
↑
3 135.55 m
↓
↑
3 135.55 m
↓
S 71.300793°
W 82.968750°		 ← 3 133.22 m →
9 831 509 m²		 S 71.300793°
W 82.880859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2696533203125 y=0.7869873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2696533203125 × 212)
    floor (0.2696533203125 × 4096)
    floor (1104.5)     		tx = 1104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7869873046875 × 212)
    floor (0.7869873046875 × 4096)
    floor (3223.5)     		ty = 3223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1104 / 3223 ti = "12/1104/3223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1104/3223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1104 ÷ 212
    1104 ÷ 4096     		x = 0.26953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3223 ÷ 212
    3223 ÷ 4096     		y = 0.786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26953125 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44807786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.57373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80242742571411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44807786} λ = -1.44807786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80242742571411))-π/2
    2×atan(0.164898124059208)-π/2
    2×0.16342744132085-π/2
    0.3268548826417-1.57079632675     		φ = -1.24394144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44807786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24394144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.272594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1104 KachelY 3223 -1.44807786 -1.24394144 -82.968750 -71.272594
    Oben rechts KachelX + 1 1105 KachelY 3223 -1.44654388 -1.24394144 -82.880859 -71.272594
    Unten links KachelX 1104 KachelY + 1 3224 -1.44807786 -1.24443360 -82.968750 -71.300793
    Unten rechts KachelX + 1 1105 KachelY + 1 3224 -1.44654388 -1.24443360 -82.880859 -71.300793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24394144--1.24443360) × R
    0.000492160000000075 × 6371000     		dl = 3135.55136000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24394144--1.24443360) × R
    0.000492160000000075 × 6371000     		dr = 3135.55136000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44807786--1.44654388) × cos(-1.24394144) × R
    0.00153398000000005 × 0.32106602036008 × 6371000     		do = 3137.77390827316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44807786--1.44654388) × cos(-1.24443360) × R
    0.00153398000000005 × 0.320599878012355 × 6371000     		du = 3133.21830536448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24394144)-sin(-1.24443360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32106602036008-0.320599878012355)×R²
    abs(-1.44654388--1.44807786)×0.000466142347724408×R²
    0.00153398000000005×0.000466142347724408×6371000²
    0.00153398000000005×0.000466142347724408×40589641000000     		ar = 9831509.28046665m²