Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1104 / 1617
↖ ↑ ↗
← S 71.580532°
E 14.062500°		 ← 6 175.97 m → S 71.580532°
E 14.238281°		 →
↑
6 167 m
↓
↑
6 167 m
↓
S 71.635993°
E 14.062500°		 ← 6 158.02 m →
38 031 848 m²		 S 71.635993°
E 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539306640625 y=0.789794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539306640625 × 211)
    floor (0.539306640625 × 2048)
    floor (1104.5)     		tx = 1104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789794921875 × 211)
    floor (0.789794921875 × 2048)
    floor (1617.5)     		ty = 1617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1104 / 1617 ti = "11/1104/1617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1104/1617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1104 ÷ 211
    1104 ÷ 2048     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1617 ÷ 211
    1617 ÷ 2048     		y = 0.78955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78955078125 × 2 - 1) × π
    -0.5791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81930121438037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81930121438037))-π/2
    2×atan(0.162139011766555)-π/2
    2×0.160740183325114-π/2
    0.321480366650229-1.57079632675     		φ = -1.24931596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24931596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.580532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1104 KachelY 1617 0.24543693 -1.24931596 14.062500 -71.580532
    Oben rechts KachelX + 1 1105 KachelY 1617 0.24850489 -1.24931596 14.238281 -71.580532
    Unten links KachelX 1104 KachelY + 1 1618 0.24543693 -1.25028394 14.062500 -71.635993
    Unten rechts KachelX + 1 1105 KachelY + 1 1618 0.24850489 -1.25028394 14.238281 -71.635993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24931596--1.25028394) × R
    0.000967980000000201 × 6371000     		dl = 6167.00058000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24931596--1.25028394) × R
    0.000967980000000201 × 6371000     		dr = 6167.00058000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24850489) × cos(-1.24931596) × R
    0.00306796000000001 × 0.315971432012315 × 6371000     		do = 6175.96912943949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24850489) × cos(-1.25028394) × R
    0.00306796000000001 × 0.315052894995122 × 6371000     		du = 6158.01542955497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24931596)-sin(-1.25028394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315971432012315-0.315052894995122)×R²
    abs(0.24850489-0.24543693)×0.000918537017193244×R²
    0.00306796000000001×0.000918537017193244×6371000²
    0.00306796000000001×0.000918537017193244×40589641000000     		ar = 38031847.9341267m²