Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1104 / 1393
↖ ↑ ↗
← N 75.661318°
W131.484375°		 ← 1 210.16 m → N 75.661318°
W131.440430°		 →
↑
1 210.62 m
↓
↑
1 210.62 m
↓
N 75.650431°
W131.484375°		 ← 1 211.06 m →
1 465 580 m²		 N 75.650431°
W131.440430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13482666015625 y=0.17010498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13482666015625 × 213)
    floor (0.13482666015625 × 8192)
    floor (1104.5)     		tx = 1104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17010498046875 × 213)
    floor (0.17010498046875 × 8192)
    floor (1393.5)     		ty = 1393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1104 / 1393 ti = "13/1104/1393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1104/1393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1104 ÷ 213
    1104 ÷ 8192     		x = 0.134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1393 ÷ 213
    1393 ÷ 8192     		y = 0.1700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.134765625 × 2 - 1) × π
    -0.73046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29483526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1700439453125 × 2 - 1) × π
    0.659912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.07317503476819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29483526} λ = -2.29483526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07317503476819))-π/2
    2×atan(7.95002469354884)-π/2
    2×1.44566772321321-π/2
    2.89133544642641-1.57079632675     		φ = 1.32053912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29483526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32053912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.661318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1104 KachelY 1393 -2.29483526 1.32053912 -131.484375 75.661318
    Oben rechts KachelX + 1 1105 KachelY 1393 -2.29406827 1.32053912 -131.440430 75.661318
    Unten links KachelX 1104 KachelY + 1 1394 -2.29483526 1.32034910 -131.484375 75.650431
    Unten rechts KachelX + 1 1105 KachelY + 1 1394 -2.29406827 1.32034910 -131.440430 75.650431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32053912-1.32034910) × R
    0.000190020000000013 × 6371000     		dl = 1210.61742000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32053912-1.32034910) × R
    0.000190020000000013 × 6371000     		dr = 1210.61742000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29483526--2.29406827) × cos(1.32053912) × R
    0.000766990000000245 × 0.247653161926753 × 6371000     		do = 1210.15551400275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29483526--2.29406827) × cos(1.32034910) × R
    0.000766990000000245 × 0.247837258095119 × 6371000     		du = 1211.05509869418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32053912)-sin(1.32034910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247653161926753-0.247837258095119)×R²
    abs(-2.29406827--2.29483526)×0.000184096168366232×R²
    0.000766990000000245×0.000184096168366232×6371000²
    0.000766990000000245×0.000184096168366232×40589641000000     		ar = 1465579.87702055m²