Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11035 / 23784
↖ ↑ ↗
← S 62.794935°
W 58.765869°		 ← 558.48 m → S 62.794935°
W 58.754883°		 →
↑
558.42 m
↓
↑
558.42 m
↓
S 62.799957°
W 58.765869°		 ← 558.38 m →
311 836 m²		 S 62.799957°
W 58.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.336776733398438 y=0.725845336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.336776733398438 × 215)
    floor (0.336776733398438 × 32768)
    floor (11035.5)     		tx = 11035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725845336914062 × 215)
    floor (0.725845336914062 × 32768)
    floor (23784.5)     		ty = 23784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11035 / 23784 ti = "15/11035/23784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11035/23784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11035 ÷ 215
    11035 ÷ 32768     		x = 0.336761474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23784 ÷ 215
    23784 ÷ 32768     		y = 0.725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.336761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.32647705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.02565790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.45166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41893222875366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02565790} λ = -1.02565790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41893222875366))-π/2
    2×atan(0.241972250016531)-π/2
    2×0.237408979800864-π/2
    0.474817959601729-1.57079632675     		φ = -1.09597837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02565790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.765869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09597837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.794935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11035 KachelY 23784 -1.02565790 -1.09597837 -58.765869 -62.794935
    Oben rechts KachelX + 1 11036 KachelY 23784 -1.02546616 -1.09597837 -58.754883 -62.794935
    Unten links KachelX 11035 KachelY + 1 23785 -1.02565790 -1.09606602 -58.765869 -62.799957
    Unten rechts KachelX + 1 11036 KachelY + 1 23785 -1.02546616 -1.09606602 -58.754883 -62.799957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09597837--1.09606602) × R
    8.76499999999947e-05 × 6371000     		dl = 558.418149999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09597837--1.09606602) × R
    8.76499999999947e-05 × 6371000     		dr = 558.418149999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02565790--1.02546616) × cos(-1.09597837) × R
    0.000191739999999996 × 0.457176549904494 × 6371000     		do = 558.475690824907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02565790--1.02546616) × cos(-1.09606602) × R
    0.000191739999999996 × 0.457098594345369 × 6371000     		du = 558.380462220673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09597837)-sin(-1.09606602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457176549904494-0.457098594345369)×R²
    abs(-1.02546616--1.02565790)×7.79555591254311e-05×R²
    0.000191739999999996×7.79555591254311e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.79555591254311e-05×40589641000000     		ar = 311836.373599812m²